Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a série numérica converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é a soma dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando fica muito grande. Observamos que o denominador é dominado pelo termo , então para grande, se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p com convergem. Então, nossa série original também tende a convergir por comparação, já que seus termos são menores que os termos da série p que já sabemos que converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da nossa série. Para isso, vamos simplificar o termo geral usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Escolhendo , encontramos , e escolhendo , encontramos . Portanto:

Passo 5

Reescrevendo a série original com essas frações parciais:
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somamos os termos consecutivos.

Passo 6

Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Perceba que cancela com , com , e assim por diante. Isso continua até o infinito, deixando apenas o primeiro termo e o último termo que tende a zero.

Passo 7

Portanto, a soma da série é:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Prove que, para quaisquer inteiros e tais que , temos .
Sejam e . Se , calcule o valor de .
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