Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
sumn=1^infty 1n^2+7 n+12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a série numérica converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é a soma dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando fica muito grande. Observamos que o denominador é dominado pelo termo , então para grande, se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p com convergem. Então, nossa série original também tende a convergir por comparação, já que seus termos são menores que os termos da série p que já sabemos que converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da nossa série. Para isso, vamos simplificar o termo geral usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
n^2 + 7n + 12 = (n + 3)(n + 4)
Então, podemos escrever:
1(n + 3)(n + 4) = An + 3 + Bn + 4
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n + 4) + B(n + 3) , temos:
1(n + 3)(n + 4) = -1n + 4 + 1n + 3
Escolhendo , encontramos , e escolhendo , encontramos . Portanto:

Passo 5

Reescrevendo a série original com essas frações parciais:
sumn=1^infty ( 1n + 3 - 1n + 4 )
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somamos os termos consecutivos.

Passo 6

Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
( 14 - 15 ) + ( 15 - 16 ) + ( 16 - 17 ) + dots
Perceba que cancela com , com , e assim por diante. Isso continua até o infinito, deixando apenas o primeiro termo e o último termo que tende a zero.

Passo 7

Portanto, a soma da série é:
limn to infty ( 14 - 1n + 4 ) = 14 - 0 = 14

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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