Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a série numérica
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é a soma dessa série. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando
fica muito grande. Observamos que o denominador
é dominado pelo termo
, então para
grande,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Séries p com
convergem. Então, nossa série original também tende a convergir por comparação, já que seus termos são menores que os termos da série p que já sabemos que converge.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da nossa série. Para isso, vamos simplificar o termo geral usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Escolhendo
, encontramos
, e escolhendo
, encontramos
. Portanto:
Passo 5
Reescrevendo a série original com essas frações parciais:
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somamos os termos consecutivos.
Passo 6
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Perceba que
cancela com
,
com
, e assim por diante. Isso continua até o infinito, deixando apenas o primeiro termo
e o último termo que tende a zero.
Passo 7
Portanto, a soma da série é:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Prove que, para quaisquer inteiros
e
tais que
, temos
.
Sejam
e
. Se
, calcule o valor de
.
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e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
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