Sejam A=sumk=0^nbinomnk 3^k e B= sumk=0^n-1binomn-1k 11^k. Se BA=3^84, calcule o valor de n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas somas envolvendo coeficientes binomiais, e , e nos pede para encontrar o valor de sabendo que . Para resolver isso, vamos usar propriedades de expansão binomial e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas somas. A soma (a + b)^n = sumk=0^nbinomnk a^n-k b^k é uma expansão do binômio A = (1 + 3)^n = 4^n . Isso porque a fórmula do binômio de Newton diz que:
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma B = (1 + 11)^n-1 = 12^n-1 . De forma similar, isso corresponde à expansão do binômio :

Passo 4

Sabemos que 12^n-14^n = 3^84 . Substituindo e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Reescrevendo 12 = 3 times 4 Rightarrow 12^n-1 = (3 times 4)^n-1 = 3^n-1 times 4^n-1 e 3^n-1 times 4^n-14^n = 3^84 em termos de potências de 3 e 4:
3^n-1 times 4^n-14^n = 3^n-1 times 4^-1 = 3^n-14
Substituindo na equação:
3^n-14 = 3^84
Simplificando a parte de :
Portanto, temos:

Passo 6

Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos igualar os numeradores:
3^n-1 = 3^8

Passo 7

Quando duas potências de mesma base são iguais, seus expoentes também são iguais:
n - 1 = 8 Rightarrow n = 9

Resposta

O valor de é 9.

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