Sejam
e
. Se
, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas somas envolvendo coeficientes binomiais,
e
, e nos pede para encontrar o valor de
sabendo que
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de expansão binomial e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas somas. A soma
é uma expansão do binômio
. Isso porque a fórmula do binômio de Newton diz que:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma
. De forma similar, isso corresponde à expansão do binômio
:
Passo 4
Sabemos que
. Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Reescrevendo
e
em termos de potências de 3 e 4:
Substituindo na equação:
Simplificando a parte de
:
Portanto, temos:
Passo 6
Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos igualar os numeradores:
Passo 7
Quando duas potências de mesma base são iguais, seus expoentes também são iguais:
Resposta
O valor de
é 9.
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Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
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