Sejam e . Se , calcule o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas somas envolvendo coeficientes binomiais, e , e nos pede para encontrar o valor de sabendo que . Para resolver isso, vamos usar propriedades de expansão binomial e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas somas. A soma é uma expansão do binômio . Isso porque a fórmula do binômio de Newton diz que:
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma . De forma similar, isso corresponde à expansão do binômio :

Passo 4

Sabemos que . Substituindo e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Reescrevendo e em termos de potências de 3 e 4:
Substituindo na equação:
Simplificando a parte de :
Portanto, temos:

Passo 6

Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos igualar os numeradores:

Passo 7

Quando duas potências de mesma base são iguais, seus expoentes também são iguais:

Resposta

O valor de é 9.

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Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
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