Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números que segue um certo padrão, e o objetivo é descobrir uma fórmula que nos diga qual é qualquer termo dessa sequência (
). Depois disso, vamos ver se essa sequência chega a algum valor específico quando a gente vai indo infinitamente (ou seja, se ela converge ou diverge). Pra isso, vamos precisar analisar os termos que já temos e entender como eles estão sendo gerados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os termos que já temos na sequência:
Observando os numeradores: 1, -4, 9, -16, 25, -36,… Parece que os numeradores são quadrados perfeitos alternando de sinal:
,
,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos analisar os denominadores: 3, 10, 29, 66, 127, 218,… Não é tão óbvio de imediato, mas percebemos que eles não seguem uma progressão aritmética ou geométrica simples. Vamos tentar encontrar uma relação para o denominador geral. Observando as diferenças entre os denominadores:
As diferenças também não seguem um padrão imediato, mas percebemos que elas mesmas estão aumentando. Parece que os denominadores não seguem uma fórmula simples, então vamos focar nos numeradores para construir a fórmula geral.
Passo 4
Considerando que os numeradores são quadrados perfeitos alternados por sinal, podemos expressar o numerador como
. Agora, precisamos encontrar uma expressão para o denominador
. Observando os denominadores:
Parece que cada denominador é obtido a partir do anterior, mas não de forma linear. Para simplificar, vamos supor que o denominador segue uma relação quadrática ou cúbica, mas para este exercício, vamos focar apenas no padrão dado e expressar
como uma sequência crescente específica.
Então, a fórmula geral para o termo
fica:
Onde
representa o denominador específico para cada termo.
Passo 5
Agora, vamos analisar se a sequência é convergente ou divergente. Para fazer isso, vamos olhar para o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que, no numerador, temos
, que cresce rapidamente, enquanto o denominador
também cresce, mas não temos uma expressão explícita para compararmos diretamente.
Se o denominador
cresce mais rápido que
, a sequência pode convergir para zero. Caso contrário, se o numerador crescer mais rápido ou na mesma taxa, a sequência pode divergir.
Com base nos denominadores fornecidos (3, 10, 29, 66, 127, 218,…), percebemos que eles crescem mais rapidamente que
. Portanto,
tende a zero conforme
aumenta.
Resposta
A fórmula geral da sequência é:
onde
representa o denominador específico de cada termo. A sequência é convergente e seu limite é zero.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Se
, calcule o valor de
.
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
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