Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Note que . Então, podemos reescrever a série assim:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo exponenciais como .
Passo 4
O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
onde . Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular :
Simplificando os termos:
Passo 6
Como , pelo teste da razão, a série diverge.
Passo 7
Lembrando que multiplicamos a série original por 3 no início, a divergência da série implica que a série original também diverge.