Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
sumn=1^infty 3^n+1n^2+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série sumn=1^infty 3^n+1n^2+2 converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Note que 3^n+1 = 3 cdot 3^n. Então, podemos reescrever a série assim:
sumn=1^infty 3^n+1n^2+2 = 3 sumn=1^infty 3^nn^2+2

Passo 3

Agora, precisamos determinar se a série sumn=1^infty 3^nn^2+2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo exponenciais como 3^n.

Passo 4

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
onde an = 3^nn^2+2. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular L:
L = limn to infty | 3^n+1/( (n+1)^2 + 2 )3^n/(n^2+2) | = limn to infty 3 cdot n^2+2(n+1)^2 + 2
Simplificando os termos:
L = 3 limn to infty n^2+2n^2 + 2n + 3 = 3 cdot limn to infty 1 + 2n^21 + 2n + 3n^2 = 3 cdot 1 + 01 + 0 + 0 = 3

Passo 6

Como L = 3 > 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^infty 3^nn^2+2 diverge.

Passo 7

Lembrando que multiplicamos a série original por 3 no início, a divergência da série sumn=1^infty 3^nn^2+2 implica que a série original sumn=1^infty 3^n+1n^2+2 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^n+1n^2+2 diverge.

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