Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Note que . Então, podemos reescrever a série assim:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo exponenciais como .

Passo 4

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
onde . Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular :
Simplificando os termos:

Passo 6

Como , pelo teste da razão, a série diverge.

Passo 7

Lembrando que multiplicamos a série original por 3 no início, a divergência da série implica que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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