Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries numéricas, especialmente os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Note que . Então, podemos reescrever a série assim:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos envolvendo exponenciais como .
Passo 4
O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
onde an = 3^nn^2+2. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular L:
L = limn to infty | 3^n+1/( (n+1)^2 + 2 )3^n/(n^2+2) | = limn to infty 3 cdot n^2+2(n+1)^2 + 2
Como L = 3 > 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^infty 3^nn^2+2diverge.
Passo 7
Lembrando que multiplicamos a série original por 3 no início, a divergência da série sumn=1^infty 3^nn^2+2 implica que a série original sumn=1^infty 3^n+1n^2+2 também diverge.