Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificarmos se a série infinita converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Para facilitar, vamos separar essa fração em duas partes:
Agora, podemos reescrever cada termo separadamente:
Isso nos dá duas séries geométricas:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ). Se convergir, a soma da série é dada por:
Vamos aplicar isso nas duas séries que temos.

Passo 4

Para a primeira série:
Como , a série converge. A soma é:
Para a segunda série:
Novamente, , então essa série também converge. A soma é:

Passo 5

Agora, vamos juntar as somas das duas séries:
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 4 é 12. Então:
Subtraindo:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Sejam e . Se , calcule o valor de .
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas: