Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
sumn=1^infty 2^n-15^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificarmos se a série infinita converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: 2^n-15^n-1 = 2^n5^n-1 - 15^n-1 . Para facilitar, vamos separar essa fração em duas partes:
2^n5^n-1 = 2 cdot (25)^n-1
Agora, podemos reescrever cada termo separadamente:
15^n-1 = (15)^n-1
2 cdot sumn=1^infty (25)^n-1 e sumn=1^infty (15)^n-1
Isso nos dá duas séries geométricas:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma Soma = a1 - r converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ). Se convergir, a soma da série é dada por:
Vamos aplicar isso nas duas séries que temos.

Passo 4

Para a primeira série:
a = 2 e r = 25
Como 21 - 25 = 235 = 103 , a série converge. A soma é:
a = 1 e r = 15
Para a segunda série:
11 - 15 = 145 = 54
Novamente, , então essa série também converge. A soma é:

Passo 5

Agora, vamos juntar as somas das duas séries:
Soma Total = 103 - 54
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 4 é 12. Então:
103 = 4012 e 54 = 1512
Subtraindo:
4012 - 1512 = 2512

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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