Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificarmos se a série infinita
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
. Para facilitar, vamos separar essa fração em duas partes:
Agora, podemos reescrever cada termo separadamente:
Isso nos dá duas séries geométricas:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1 (
). Se convergir, a soma da série é dada por:
Vamos aplicar isso nas duas séries que temos.
Passo 4
Para a primeira série:
Como
, a série converge. A soma é:
Para a segunda série:
Novamente,
, então essa série também converge. A soma é:
Passo 5
Agora, vamos juntar as somas das duas séries:
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 4 é 12. Então:
Subtraindo:
Resposta
A série
converge e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Sejam
e
. Se
, calcule o valor de
.
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas: