Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma sequência dos termos
. A missão é descobrir uma fórmula que nos diga qualquer termo dessa sequência (ou seja,
) e também verificar se essa sequência chega a um valor fixo (converge) ou não (diverge). Se ela convergir, vamos descobrir qual é esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os numeradores dos termos: 1, 4, 9, 16, 25, 36,… Parece que esses números são quadrados perfeitos, né? Ou seja,
,
,
, e por aí vai. Então, podemos dizer que o numerador do termo geral
é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os denominadores: 3, 9, 19, 33, 51, 73,… Para entender o padrão, vamos calcular a diferença entre os termos consecutivos:
- De 3 para 9: aumenta 6
- De 9 para 19: aumenta 10
- De 19 para 33: aumenta 14
- De 33 para 51: aumenta 18
- De 51 para 73: aumenta 22
Vemos que a diferença entre os denominadores aumenta de 4 em 4. Isso indica que os denominadores estão seguindo um padrão quadrático, ou seja, podem ser descritos por uma equação do tipo
.
Passo 4
Vamos encontrar os coeficientes
,
e
. Para isso, usamos os primeiros três termos dos denominadores:
Para
:
→ Equação 1
Para
:
→ Equação 2
Para
:
→ Equação 3
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
→ Equação 4
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
→ Equação 5
Agora temos:
Passo 6
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Então,
Então,
Agora, substituindo
na Equação 4:
Finalmente, substituindo
e
na Equação 1:
Passo 7
Então, a fórmula para os denominadores é
. Agora, juntando com o numerador que é
, a fórmula geral para o termo da sequência é:
Passo 8
Para ver se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos dividir numerador e denominador por
:
Como o limite existe e é finito, a sequência é convergente, e o limite é
.
Resposta
A fórmula explícita para o termo geral da sequência é
. A sequência é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.