Considere os primeiros termos da sequência a_n e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral a_n desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
a_n = (1/3, 4/9, 9/19, 16/33, 25/51, 36/73, ...)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma sequência dos termos . A missão é descobrir uma fórmula que nos diga qualquer termo dessa sequência (ou seja, a_n) e também verificar se essa sequência chega a um valor fixo (converge) ou não (diverge). Se ela convergir, vamos descobrir qual é esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os numeradores dos termos: 1, 4, 9, 16, 25, 36,… Parece que esses números são quadrados perfeitos, né? Ou seja, , , , e por aí vai. Então, podemos dizer que o numerador do termo geral a_n é n^2.

Passo 3

Agora, vamos analisar os denominadores: 3, 9, 19, 33, 51, 73,… Para entender o padrão, vamos calcular a diferença entre os termos consecutivos:
  • De 3 para 9: aumenta 6
  • De 9 para 19: aumenta 10
  • De 19 para 33: aumenta 14
  • De 33 para 51: aumenta 18
  • De 51 para 73: aumenta 22
Vemos que a diferença entre os denominadores aumenta de 4 em 4. Isso indica que os denominadores estão seguindo um padrão quadrático, ou seja, podem ser descritos por uma equação do tipo .

Passo 4

Vamos encontrar os coeficientes A, B e C. Para isso, usamos os primeiros três termos dos denominadores:
Para n = 1:

 → Equação 1
Para n = 2:

 → Equação 2
Para n = 3:

 → Equação 3

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
 → Equação 4
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
 → Equação 5
Agora temos:

Passo 6

Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:

Então,
Agora, substituindo na Equação 4:


Finalmente, substituindo e na Equação 1:

Passo 7

Então, a fórmula para os denominadores é . Agora, juntando com o numerador que é n^2, a fórmula geral para o termo da sequência é:

Passo 8

Para ver se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite de a_n quando n tende ao infinito:
Podemos dividir numerador e denominador por n^2:
Como o limite existe e é finito, a sequência é convergente, e o limite é 1/2.

Resposta

A fórmula explícita para o termo geral da sequência é . A sequência é convergente e o seu limite é .

Exercícios relacionados