Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n!4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita onde cada termo é dado por . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando um teste de convergência para séries de termos positivos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, limites e aplicar um teste específico de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. Observamos que o numerador an = 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2n)n!4^n = 2^n cdot n!n! cdot 4^n = 2^n4^n = (24)^n = (12)^n é um produto de números pares até . Isso pode ser reescrito como , já que cada termo é 2 multiplicado por um número inteiro. Assim, temos:

Passo 3

Agora que simplificamos o termo geral para , podemos identificar que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 4

Para séries geométricas, sabemos que ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge. No nosso caso, a razão é , que claramente é menor que 1.

Passo 5

Como , de acordo com o teste da série geométrica, nossa série converge.

Resposta

A série é convergente.

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