Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita onde cada termo é dado por . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando um teste de convergência para séries de termos positivos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, limites e aplicar um teste específico de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. Observamos que o numerador é um produto de números pares até . Isso pode ser reescrito como , já que cada termo é 2 multiplicado por um número inteiro. Assim, temos:
Passo 3
Agora que simplificamos o termo geral para , podemos identificar que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.
Passo 4
Para séries geométricas, sabemos que ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge. No nosso caso, a razão é , que claramente é menor que 1.
Passo 5
Como , de acordo com o teste da série geométrica, nossa série converge.