Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a dízima periódica e precisamos transformar isso numa fração usando uma série geométrica convergente. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela pode representar uma dízima periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a parte inteira da decimal da parte que se repete. No caso, temos:
Agora, vamos focar em .

Passo 3

A parte que se repete forma uma série geométrica. Podemos escrever essa parte como:
Aqui, cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por (ou seja, dividindo por ). Isso caracteriza uma série geométrica onde:
  • Primeiro termo ( ):
  • Razão ( ):

Passo 4

Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos simplificar essa fração.

Passo 5

Agora, voltamos à parte inteira que tínhamos separado no início:

Resposta

A dízima corresponde à fração .

Exercícios relacionados

Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Calcule as derivadas das funções: