Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a dízima periódica
e precisamos transformar isso numa fração usando uma série geométrica convergente. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela pode representar uma dízima periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a parte inteira da decimal da parte que se repete. No caso, temos:
Agora, vamos focar em
.
Passo 3
A parte que se repete
forma uma série geométrica. Podemos escrever essa parte como:
Aqui, cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por
(ou seja, dividindo por
). Isso caracteriza uma série geométrica onde:
- Primeiro termo (
): - Razão (
):
Passo 4
Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos simplificar essa fração.
Passo 5
Agora, voltamos à parte inteira que tínhamos separado no início:
Resposta
A dízima
corresponde à fração
.
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