Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1)(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita com termos positivos:
sumn=1^infty 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n+1)(2n)!
O conteúdo envolvido aqui é Convergência de Séries, especificamente usando um teste de convergência para determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar testes como o Teste da Razão ou Teste da Raiz, além de manipular expressões fatoriais e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dos termos da série para facilitar a aplicação do teste de convergência. Observe que o numerador é o produto de números impares começando de 3 até 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n + 1) = prodk=1^n (2k + 1) . Podemos escrever isso como:
(2n)! = 2n cdot (2n-1) cdot cdots cdot 1
E o denominador é um fatorial:

Passo 3

Vamos tentar aplicar o Teste da Razão, que é útil quando temos termos com fatoriais ou produtos. O teste da razão diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an = 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n + 1)(2n)! :
an+1 = 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n + 1) cdot (2(n+1)+1)(2(n+1))! = 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n + 1) cdot (2n + 3)(2n + 2)!
an+1an = (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)
Então,

Passo 5

Agora, simplificamos essa expressão:
an+1an = 2n + 3(2n + 2)(2n + 1) = 2n + 34n^2 + 6n + 2

Passo 6

Para encontrar o limite quando L = limn to infty 2n + 34n^2 + 6n + 2 = limn to infty 2 + 3n4n + 6 + 2n = 0 tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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