Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita com termos positivos:
O conteúdo envolvido aqui é Convergência de Séries, especificamente usando um teste de convergência para determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar testes como o Teste da Razão ou Teste da Raiz, além de manipular expressões fatoriais e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dos termos da série para facilitar a aplicação do teste de convergência. Observe que o numerador é o produto de números impares começando de 3 até . Podemos escrever isso como:
E o denominador é um fatorial:
Passo 3
Vamos tentar aplicar o Teste da Razão, que é útil quando temos termos com fatoriais ou produtos. O teste da razão diz que para a série , calculamos:
Para encontrar o limite quando L = limn to infty 2n + 34n^2 + 6n + 2 = limn to infty 2 + 3n4n + 6 + 2n = 0 tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador: