Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série
e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar entender sobre testes como o Teste da Comparação ou o Teste da Série p.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na nossa série:
. Aqui, temos o logaritmo natural de
dividido por
. Sabemos que
cresce mais devagar que qualquer potência de
, então
vai decrescer conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se tivermos duas séries com termos positivos, e os termos da nossa série forem menores ou iguais aos termos de uma série conhecida que converge, então a nossa série também converge.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com
. Sabemos que
converge se
. Aqui,
, então essa série é convergente.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos:
Isso porque
para todo
.
Passo 6
Como
e
converge, pelo Teste da Comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge.
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