Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar entender sobre testes como o Teste da Comparação ou o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na nossa série: . Aqui, temos o logaritmo natural de dividido por . Sabemos que cresce mais devagar que qualquer potência de , então vai decrescer conforme aumenta.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se tivermos duas séries com termos positivos, e os termos da nossa série forem menores ou iguais aos termos de uma série conhecida que converge, então a nossa série também converge.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com . Sabemos que converge se . Aqui, , então essa série é convergente.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos:
Isso porque para todo .

Passo 6

Como e converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
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