Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma fórmula que descreva qualquer termo
da sequência dada e, depois, verificar se essa sequência converge (ou seja, tem um limite) ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências, fórmulas gerais e convergência/divergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos que nos foram dados da sequência:
Vamos separar os numeradores e denominadores para identificar um padrão.
Numeradores:
1, 2, 4, 8, 16, 32,…
1, 2, 4, 8, 16, 32,…
Percebemos que cada numerador é o dobro do anterior. Isso sugere que os numeradores seguem uma progressão geométrica com razão 2. Assim, podemos expressar o numerador de
como
.
Denominadores:
2, 5, 10, 17, 26, 37,…
2, 5, 10, 17, 26, 37,…
Observando os denominadores, notamos que as diferenças entre termos consecutivos aumentam de 2 em 2:
Isso indica que os denominadores seguem uma sequência quadrática. Podemos tentar expressar o denominador de
como
.
Vamos verificar:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Confere!
Passo 3
Agora que identificamos os padrões, podemos escrever a fórmula geral para o termo
da sequência:
Passo 4
Com a fórmula geral em mãos, vamos determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Estamos interessados em:
Sabemos que funções exponenciais, como
, crescem muito mais rapidamente do que funções polinomiais, como
. Portanto, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador à medida que
aumenta.
Passo 5
Dado que o numerador
cresce exponencialmente e o denominador
cresce quadraticamente, o limite de
quando
tende ao infinito será infinito:
Isso significa que a sequência
não se aproxima de nenhum número finito; ela diverge.
Resposta
A fórmula geral da sequência é
e a sequência diverge.
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