Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty raiz[3]nn^2+3 n+1

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma série infinita com termos positivos:
sumn=1^infty raiz[3]nn^2+3 n+1
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar um teste de convergência adequado para séries de termos positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ele se comporta quando raiz[3]nn^2+3 n+1 fica grande. O termo é:
n^1/3n^2 = 1n^5/3
Quando é muito grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, podemos simplificar:
Isso nos mostra que, para valores grandes de , o comportamento da nossa série é parecido com o da série .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste da Série p. Esse teste diz que a série:
sumn=1^infty 1n^p
converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1. Então, a série converge.

Passo 4

Como nossa série original se comporta de forma semelhante a para grande, podemos aplicar o Teste da Comparação.
Como para suficientemente grande, e sabemos que converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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