Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar um teste de convergência em uma série de termos positivos e determinar se a série é convergente ou divergente. A série que temos é:
Aqui, vamos precisar entender sobre séries infinitas, testes de convergência e, especificamente, aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries que envolvem fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim:
Para uma série , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não dá resposta.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, . Precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o limite quando tende ao infinito:
Como cresce para o infinito, também cresce sem limites, ou seja, .

Passo 6

Comparando com o Teste da Razão:
Como , a série diverge.

Resposta

A série diverge segundo o Teste da Razão.

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a) Qual o intervalo de validade da solucão?
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