Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar um teste de convergência em uma série de termos positivos e determinar se a série é convergente ou divergente. A série que temos é:
Aqui, vamos precisar entender sobre séries infinitas, testes de convergência e, especificamente, aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries que envolvem fatorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim:
Para uma série
, calculamos:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não dá resposta.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui,
. Precisamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o limite quando
tende ao infinito:
Como
cresce para o infinito,
também cresce sem limites, ou seja,
.
Passo 6
Comparando com o Teste da Razão:
Como
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge segundo o Teste da Razão.
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a) Qual o intervalo de validade da solucão?
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. O limite depende de
?
b) Qual o limite de
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.