Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a dízima periódica
em uma fração. Para isso, vamos usar uma série geométrica convergente, que é uma sequência de números onde cada termo é multiplicado por uma razão fixa para chegar no próximo. Vamos precisar entender um pouquinho de séries geométricas e como elas funcionam para chegar na fração final.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o número em duas partes: a parte que não se repete e a parte que repete. No caso de
, a parte que não se repete é
e a parte que repete é
.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte que repete, que é
. Essa parte ocorre depois da vírgula, então precisamos transformar
em uma fração. Para isso, vamos escrever essa repetição como uma série geométrica.
Passo 4
Uma série geométrica tem a forma
, onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo, -
é a razão entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo
é
e a razão
é
, porque cada “25” vem depois de duas casas decimais, ou seja, cada termo é 1/100 do anterior.
Passo 5
Usando a fórmula da soma da série geométrica, temos:
Vamos simplificar essa fração multiplicando o numerador e o denominador por 100:
Para evitar o número decimal no numerador, multiplicamos ambos por 2:
Então,
.
Passo 6
Agora, voltamos à parte não repetida do número, que é
. Podemos escrever isso como uma fração:
Para somar com a parte repetida:
Precisamos de um denominador comum, que é 990:
Simplificando essa fração dividindo numerador e denominador por 2:
E verificando se pode simplificar mais, percebemos que não pode.
Resposta
A dízima periódica
corresponde à fração
.
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e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
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