Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a dízima periódica em uma fração. Para isso, vamos usar uma série geométrica convergente, que é uma sequência de números onde cada termo é multiplicado por uma razão fixa para chegar no próximo. Vamos precisar entender um pouquinho de séries geométricas e como elas funcionam para chegar na fração final.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o número em duas partes: a parte que não se repete e a parte que repete. No caso de , a parte que não se repete é e a parte que repete é .

Passo 3

Agora, vamos focar na parte que repete, que é . Essa parte ocorre depois da vírgula, então precisamos transformar em uma fração. Para isso, vamos escrever essa repetição como uma série geométrica.

Passo 4

Uma série geométrica tem a forma , onde:
  • é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo é e a razão é , porque cada “25” vem depois de duas casas decimais, ou seja, cada termo é 1/100 do anterior.

Passo 5

Usando a fórmula da soma da série geométrica, temos:
Vamos simplificar essa fração multiplicando o numerador e o denominador por 100:
Para evitar o número decimal no numerador, multiplicamos ambos por 2:
Então, .

Passo 6

Agora, voltamos à parte não repetida do número, que é . Podemos escrever isso como uma fração:
Para somar com a parte repetida:
Precisamos de um denominador comum, que é 990:
Simplificando essa fração dividindo numerador e denominador por 2:
E verificando se pode simplificar mais, percebemos que não pode.

Resposta

A dízima periódica corresponde à fração .

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