Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n+1(n!)^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Seja L = limn to infty | an+1an | . Precisamos calcular o limite:

Passo 4

Substituindo L = limn to infty | 2(n+1) +1((n+1)!)^22n +1(n!)^2 | = limn to infty 2n +3(n+1)^2 (2n +1) na expressão do limite:

Passo 5

Simplificando a expressão:
L = limn to infty 2n +3(n+1)^2 (2n +1) = limn to infty 2n2n cdot n^2 = limn to infty 2n2n^3 = limn to infty 1n^2 = 0

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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