Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Seja . Precisamos calcular o limite:
Passo 4
Substituindo na expressão do limite:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.