Considere o problema de achar zero de uma função
qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(a) Qual deles abrange um número maior de problemas, ou seja, exige menos hipóteses sobre
? Justifique sua resposta.
(a) Qual deles abrange um número maior de problemas, ou seja, exige menos hipóteses sobre
Passo 1
Vamos lá! O exercício quer saber qual método, entre a bissecção e o ponto fixo, resolve mais tipos de problemas para achar zeros de uma função
. A gente vai precisar entender o que cada método exige da função
para funcionar.
Passo 2
Primeiro, o método da bissecção. Esse método precisa que a função
seja contínua no intervalo que estamos analisando e que os valores de
nas extremidades desse intervalo tenham sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos um zero da função nesse intervalo.
Passo 3
Agora, o método do ponto fixo. Esse método transforma a equação
em
, onde
é uma nova função. Para o método funcionar, a função
precisa ser contínua e a derivada de
,
, deve ser menor que 1 em módulo no intervalo considerado. Isso assegura que as iterações do método vão convergir para um ponto fixo.
Passo 4
Comparando os dois métodos, vemos que o método da bissecção só precisa que a função seja contínua e mude de sinal no intervalo, enquanto o método do ponto fixo precisa de condições adicionais, como a existência de uma função
adequada com derivada menor que 1.
Resposta
O método da bissecção abrange um número maior de problemas, pois exige menos hipóteses sobre a função
.
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e
.
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, em que
.
(b)
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