Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p)=0, em que f(x)=x^4+2 x^2-x-3.
(a) g1(x)=(3+x-2 x^2)^1 / 4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função e uma outra função . O objetivo aqui é usar manipulação algébrica pra mostrar que tem um ponto fixo em exatamente quando . Isso envolve conceitos de funções, pontos fixos e resolução de equações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto fixo de uma função satisfaz a condição . Ou seja, quando você aplica a função no ponto , ela retorna o próprio .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função g1(p) = p . Queremos encontrar (3 + p - 2p^2)^1/4 = p tal que:
Substituindo por sua expressão:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos nos livrar da raiz de quarto potência elevando ambos os lados à quarta potência:
((3 + p - 2p^2)^1/4)^4 = p^4
Simplificando:
3 + p - 2p^2 = p^4

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0
Observamos que essa é exatamente a função f(p) = p^4 + 2p^2 - p - 3 :
f(p) = 0
Portanto, chegamos à conclusão de que:

Resposta

Assim, mostramos que tem um ponto fixo em exatamente quando .

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