Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em
precisamente quando
, em que
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função
e uma outra função
. O objetivo aqui é usar manipulação algébrica pra mostrar que
tem um ponto fixo em
exatamente quando
. Isso envolve conceitos de funções, pontos fixos e resolução de equações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto fixo
de uma função
satisfaz a condição
. Ou seja, quando você aplica a função no ponto
, ela retorna o próprio
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Queremos encontrar
tal que:
Substituindo
por sua expressão:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos nos livrar da raiz de quarto potência elevando ambos os lados à quarta potência:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Observamos que essa é exatamente a função
:
Portanto, chegamos à conclusão de que:
Resposta
Assim, mostramos que
tem um ponto fixo em
exatamente quando
.