Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar manipulação algébrica para provar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Basicamente, precisamos entender o que é ponto fixo e como relacionar isso com a função .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto é chamado de ponto fixo da função se, ao substituir na função, o resultado for ele mesmo. Ou seja, . Isso significa que não muda quando aplicado a função .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Queremos encontrar tal que:
Substituindo por sua expressão:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Passo 6
Vamos reorganizar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 7
Observamos que a equação resultante é exatamente , onde . Portanto, mostramos que é um ponto fixo de se, e somente se, .
Resposta
Assim, demonstramos que cada ponto fixo da função satisfaz , isto é, ocorre precisamente quando .