Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar manipulação algébrica para provar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Basicamente, precisamos entender o que é ponto fixo e como relacionar isso com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto é chamado de ponto fixo da função se, ao substituir na função, o resultado for ele mesmo. Ou seja, . Isso significa que não muda quando aplicado a função .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Queremos encontrar tal que:
Substituindo por sua expressão:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:

Passo 6

Vamos reorganizar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 7

Observamos que a equação resultante é exatamente , onde . Portanto, mostramos que é um ponto fixo de se, e somente se, .

Resposta

Assim, demonstramos que cada ponto fixo da função satisfaz , isto é, ocorre precisamente quando .

Exercícios relacionados

Considere o problema de achar zero de uma função qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(a) Qual deles abrange um número maior de problemas, ou seja, exige menos hipóteses sobre ? Justifique sua resposta.
Considerando agora , use seu código anterior para mostrar que
para qualquer .
Considere o problema de achar zero de uma função qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(b) Qual teoricamente converge mais rápido para a solução? Justifique sua resposta.