Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p)=0, em que f(x)=x^4+2 x^2-x-3.
(b) g2(x)=(3+x-x^42)^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar manipulação algébrica para provar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Basicamente, precisamos entender o que é ponto fixo e como relacionar isso com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto é chamado de ponto fixo da função se, ao substituir na função, o resultado for ele mesmo. Ou seja, . Isso significa que não muda quando aplicado a função .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função g2(p) = p . Queremos encontrar (3 + p - p^42)^1 / 2 = p tal que:
Substituindo por sua expressão:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
(3 + p - p^42)^1 / 2^2 = p^2

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
3 + p - p^4 = 2p^2

Passo 6

Vamos reorganizar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro lado:
-p^4 - 2p^2 + p + 3 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0

Passo 7

Observamos que a equação resultante é exatamente , onde . Portanto, mostramos que é um ponto fixo de se, e somente se, .

Resposta

Assim, demonstramos que cada ponto fixo da função satisfaz , isto é, ocorre precisamente quando .

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