Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em
precisamente quando
, em que
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar manipulação algébrica para provar que a função
tem um ponto fixo em
exatamente quando
, onde
. Basicamente, precisamos entender o que é ponto fixo e como relacionar isso com a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto fixo de uma função. Um ponto
é chamado de ponto fixo da função
se, ao substituir
na função, o resultado for ele mesmo. Ou seja,
. Isso significa que
não muda quando aplicado a função
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Queremos encontrar
tal que:
Substituindo
por sua expressão:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Passo 6
Vamos reorganizar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 7
Observamos que a equação resultante é exatamente
, onde
. Portanto, mostramos que
é um ponto fixo de
se, e somente se,
.
Resposta
Assim, demonstramos que cada ponto fixo
da função
satisfaz
, isto é,
ocorre precisamente quando
.