Considere o problema de encontrar o zero da função f(x)=x+ln (x) no intervalo [0.5,0.6] usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
varphi(x)=e^-x
Aproxime a raiz dessa função pelo Método Ponto Fixo, com erro epsilon <= 10^-2, tomando a opção que convergente dentre as funções acima e utilize x0=0.55.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar o zero da função no intervalo usando o método do ponto fixo. A gente vai precisar usar a função de iteração e começar com . Nosso objetivo é aproximar a raiz com um erro menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método do ponto fixo. Basicamente, a gente reescreve a equação na forma . Aqui, a nossa é . A ideia é começar com um chute inicial, , e aplicar repetidamente para chegar mais perto da raiz.

Passo 3

Vamos começar a iterar!
Iteração 1:
x1 = varphi(x0) = e^-0.55 approx 0.577
Calculamos o erro aproximado:
|x1 - x0| = |0.577 - 0.55| = 0.027
O erro ainda é maior que , então continuamos.

Passo 4

Iteração 2:
x2 = varphi(x1) = e^-0.577 approx 0.561
Erro:
|x2 - x1| = |0.561 - 0.577| = 0.016
Ainda não atingimos o erro desejado. Vamos para mais uma.

Passo 5

Iteração 3:
x3 = varphi(x2) = e^-0.561 approx 0.571
Erro:
|x3 - x2| = |0.571 - 0.561| = 0.010
Agora o erro é exatamente , então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo usando o método do ponto fixo é .

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