Determine a raiz da equação a seguir, cuja derivada é fácil de ser calculada.
Escolha a melhor técnica numérica, justifique sua escolha e após, aplique a técnica para determinar a raiz. Efetue iterações até que o erro absoluto caia abaixo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a raiz da equação usando o melhor método numérico. Isso envolve matemática numérica, especificamente métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar escolher um método adequado, entender como ele funciona e aplicar passo a passo até que o erro seja menor que 1%.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o método numérico certo. Como a derivada da função é fácil de calcular, o método de Newton-Raphson é uma ótima escolha. Esse método é eficiente e rápido para encontrar raízes quando sabemos a derivada da função.

Passo 3

Vamos relembrar rapidamente como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula é:
Onde:
  • é a aproximação atual da raiz.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
A ideia é usar a inclinação da tangente na aproximação atual para encontrar uma melhor aproximação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função :
Para derivar isso, usamos a regra do produto:

Passo 5

Vamos escolher uma estimativa inicial para . Suponhamos . Agora, aplicamos a fórmula do Newton-Raphson:
Calculando e :
Então,

Passo 6

Vamos calcular o erro absoluto para ver se já está abaixo de 1%:
Como 12,1% é maior que 1%, precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 7

Agora, calculamos e :
Aplicando novamente a fórmula:

Passo 8

Calculando o novo erro:
Agora, 0,42% é menor que 1%, então podemos parar por aqui.

Resposta

A raiz da equação é aproximadamente , com um erro absoluto menor que 1%.

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Aproxime a raiz dessa função pelo Método Ponto Fixo, com erro , tomando a opção que convergente dentre as funções acima e utilize .
Localize a primeira raiz não trivial de , onde está em radianos. Use a estratégia gráfica e o método da bisseção. Faça os cálculos até que o erro seja menor que .
Encontre uma aproximação para uma raiz da função pelo Método de Newton-Raphson, tomando como aproximação inicial e precisão (Utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto)).