Determine a raiz da equação a seguir, cuja derivada é fácil de ser calculada.
Escolha a melhor técnica numérica, justifique sua escolha e após, aplique a técnica para determinar a raiz. Efetue iterações até que o erro absoluto caia abaixo de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a raiz da equação usando o melhor método numérico. Isso envolve matemática numérica, especificamente métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar escolher um método adequado, entender como ele funciona e aplicar passo a passo até que o erro seja menor que 1%.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher o método numérico certo. Como a derivada da função é fácil de calcular, o método de Newton-Raphson é uma ótima escolha. Esse método é eficiente e rápido para encontrar raízes quando sabemos a derivada da função.
Passo 3
Vamos relembrar rapidamente como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula é:
Onde:
é a aproximação atual da raiz.
é o valor da função na aproximação atual.
é a derivada da função na aproximação atual.
A ideia é usar a inclinação da tangente na aproximação atual para encontrar uma melhor aproximação.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função :
Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Passo 5
Vamos escolher uma estimativa inicial para . Suponhamos . Agora, aplicamos a fórmula do Newton-Raphson:
Calculando e :
Então,
Passo 6
Vamos calcular o erro absoluto para ver se já está abaixo de 1%:
Como 12,1% é maior que 1%, precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 7
Agora, calculamos e :
Aplicando novamente a fórmula:
Passo 8
Calculando o novo erro:
Agora, 0,42% é menor que 1%, então podemos parar por aqui.
Resposta
A raiz da equação é aproximadamente , com um erro absoluto menor que 1%.