Determine a raiz da equação a seguir, cuja derivada é fácil de ser calculada.
f(x)=e^-0,5 x(4-x)-2
Escolha a melhor técnica numérica, justifique sua escolha e após, aplique a técnica para determinar a raiz. Efetue iterações até que o erro absoluto caia abaixo de 1 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a raiz da equação usando o melhor método numérico. Isso envolve matemática numérica, especificamente métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar escolher um método adequado, entender como ele funciona e aplicar passo a passo até que o erro seja menor que 1%.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o método numérico certo. Como a derivada da função é fácil de calcular, o método de Newton-Raphson é uma ótima escolha. Esse método é eficiente e rápido para encontrar raízes quando sabemos a derivada da função.

Passo 3

Vamos relembrar rapidamente como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a aproximação atual da raiz.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
A ideia é usar a inclinação da tangente na aproximação atual para encontrar uma melhor aproximação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função f(x) = e^-0,5x(4 - x) - 2 :
f'(x) = ddx(e^-0,5x) cdot (4 - x) + e^-0,5x cdot ddx(4 - x)
Para derivar isso, usamos a regra do produto:
f'(x) = -0,5 e^-0,5x(4 - x) - e^-0,5x
f'(x) = e^-0,5x(-0,5(4 - x) - 1)

Passo 5

Vamos escolher uma estimativa inicial para x1 = x0 - f(x0)f'(x0) . Suponhamos f(1) = e^-0,5(1)(4 - 1) - 2 = e^-0,5 cdot 3 - 2 approx 1,816 - 2 = -0,184 . Agora, aplicamos a fórmula do Newton-Raphson:
f'(1) = e^-0,5(1)(-0,5(4 - 1) - 1) = e^-0,5(-1,5 - 1) = e^-0,5(-2,5) approx 0,6065 cdot (-2,5) = -1,516
Calculando x1 = 1 - -0,184-1,516 approx 1 - 0,121 = 0,879 e :
Então,

Passo 6

Vamos calcular o erro absoluto para ver se já está abaixo de 1%:
Erro = | x1 - x0x1 | times 100% = | 0,879 - 10,879 | times 100% approx 12,1%
Como 12,1% é maior que 1%, precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 7

Agora, calculamos f(0,879) = e^-0,5 cdot 0,879(4 - 0,879) - 2 approx e^-0,4395 cdot 3,121 - 2 approx 0,643 cdot 3,121 - 2 approx 2,006 - 2 = 0,006 e f'(0,879) = e^-0,5 cdot 0,879(-0,5(4 - 0,879) -1 ) approx e^-0,4395(-0,5 cdot 3,121 -1 ) approx 0,643(-1,5605 -1) approx 0,643 cdot (-2,5605) approx -1,643 :
x2 = 0,879 - 0,006-1,643 approx 0,879 + 0,0037 = 0,8827
Aplicando novamente a fórmula:

Passo 8

Calculando o novo erro:
Erro = | 0,8827 - 0,8790,8827 | times 100% approx 0,42%
Agora, 0,42% é menor que 1%, então podemos parar por aqui.

Resposta

A raiz da equação é aproximadamente , com um erro absoluto menor que 1%.

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