Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no seguinte intervalo [0.5,1].
x^2+ln (x)=0
Determine essas raízes com até 2 casas decimais corretas (i.e. com epsilon <= 10^-2 ), usando o método da bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a equação tem exatamente uma raiz no intervalo e depois determinar essa raiz com até 2 casas decimais usando o método da bisseção. Vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e do método numérico da bisseção para encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Queremos encontrar o valor de que torna . Para mostrar que existe exatamente uma raiz no intervalo , vamos verificar os valores da função nos extremos desse intervalo.

Passo 3

Calculando f(0.5) = (0.5)^2 + ln(0.5) = 0.25 + (-0.6931) approx -0.4431 :
f(1) = (1)^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1
Calculando :
Observamos que e .

Passo 4

Como a função é contínua no intervalo e e têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora, para garantir que há exatamente uma raiz, precisamos verificar a derivada da função:
f'(x) = 2x + 1x
No intervalo , tanto quanto são positivos, então . Isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo, garantindo que haja apenas uma única raiz.

Passo 6

Vamos aplicar o método da bisseção para encontrar a raiz com até 2 casas decimais. O método consiste em dividir o intervalo ao meio repetidamente e escolher o subintervalo onde a função muda de sinal.

Passo 7

Inicialmente, temos:
a = 0.5, b = 1
Calculamos o ponto médio:
c = a + b2 = 0.5 + 12 = 0.75
Calculamos f(0.75) = (0.75)^2 + ln(0.75) approx 0.5625 - 0.2877 = 0.2748 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Segundo passo:
a = 0.5, b = 0.75
Ponto médio:
c = 0.5 + 0.752 = 0.625
Calculamos f(0.625) = (0.625)^2 + ln(0.625) approx 0.3906 - 0.4700 = -0.0794 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Terceiro passo:
a = 0.625, b = 0.75
Ponto médio:
c = 0.625 + 0.752 = 0.6875
Calculamos f(0.6875) = (0.6875)^2 + ln(0.6875) approx 0.4727 - 0.3743 = 0.0984 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Quarto passo:
a = 0.625, b = 0.6875
Ponto médio:
c = 0.625 + 0.68752 = 0.65625
Calculamos f(0.65625) = (0.65625)^2 + ln(0.65625) approx 0.4307 - 0.4206 = 0.0101 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Quinto passo:
a = 0.625, b = 0.65625
Ponto médio:
c = 0.625 + 0.656252 = 0.640625
Calculamos f(0.640625) = (0.640625)^2 + ln(0.640625) approx 0.4102 - 0.4450 = -0.0348 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Sexto passo:
a = 0.640625, b = 0.65625
Ponto médio:
c = 0.640625 + 0.656252 = 0.6484375
Calculamos f(0.6484375) = (0.6484375)^2 + ln(0.6484375) approx 0.4202 - 0.4328 = -0.0126 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 13

Sétimo passo:
a = 0.6484375, b = 0.65625
Ponto médio:
c = 0.6484375 + 0.656252 = 0.65234375
Calculamos f(0.65234375) = (0.65234375)^2 + ln(0.65234375) approx 0.4252 - 0.4277 = -0.0025 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 14

Oitavo passo:
a = 0.65234375, b = 0.65625
Ponto médio:
c = 0.65234375 + 0.656252 = 0.654296875
Calculamos f(0.654296875) = (0.654296875)^2 + ln(0.654296875) approx 0.4282 - 0.4231 = 0.0051 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 15

Nono passo:
a = 0.65234375, b = 0.654296875
Ponto médio:
c = 0.65234375 + 0.6542968752 = 0.6533203125
Calculamos f(0.6533203125) = (0.6533203125)^2 + ln(0.6533203125) approx 0.4264 - 0.4254 = 0.0010 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 16

Décimo passo:
a = 0.65234375, b = 0.6533203125
Ponto médio:
c = 0.65234375 + 0.65332031252 = 0.65283203125
Calculamos f(0.65283203125) = (0.65283203125)^2 + ln(0.65283203125) approx 0.4260 - 0.4269 = -0.0009 :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Resposta

A raiz da equação no intervalo é aproximadamente .

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