Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no seguinte intervalo .

Determine essas raízes com até 2 casas decimais corretas (i.e. ), usando o método da bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a equação tem exatamente uma raiz no intervalo e depois determinar essa raiz com até 2 casas decimais usando o método da bisseção. Vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e do método numérico da bisseção para encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Queremos encontrar o valor de que torna . Para mostrar que existe exatamente uma raiz no intervalo , vamos verificar os valores da função nos extremos desse intervalo.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Observamos que e .

Passo 4

Como a função é contínua no intervalo e e têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora, para garantir que há exatamente uma raiz, precisamos verificar a derivada da função:
No intervalo , tanto quanto são positivos, então . Isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo, garantindo que haja apenas uma única raiz.

Passo 6

Vamos aplicar o método da bisseção para encontrar a raiz com até 2 casas decimais. O método consiste em dividir o intervalo ao meio repetidamente e escolher o subintervalo onde a função muda de sinal.

Passo 7

Inicialmente, temos:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Segundo passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Terceiro passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Quarto passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Quinto passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Sexto passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 13

Sétimo passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 14

Oitavo passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 15

Nono passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 16

Décimo passo:
Ponto médio:
Calculamos :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Resposta

A raiz da equação no intervalo é aproximadamente .

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