Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no seguinte intervalo
.
Determine essas raízes com até 2 casas decimais corretas (i.e.
), usando o método da bisseção.
Determine essas raízes com até 2 casas decimais corretas (i.e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz no intervalo
e depois determinar essa raiz com até 2 casas decimais usando o método da bisseção. Vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e do método numérico da bisseção para encontrar a raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Queremos encontrar o valor de
que torna
. Para mostrar que existe exatamente uma raiz no intervalo
, vamos verificar os valores da função nos extremos desse intervalo.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
e
.
Passo 4
Como a função
é contínua no intervalo
e
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora, para garantir que há exatamente uma raiz, precisamos verificar a derivada da função:
No intervalo
, tanto
quanto
são positivos, então
. Isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo, garantindo que haja apenas uma única raiz.
Passo 6
Vamos aplicar o método da bisseção para encontrar a raiz com até 2 casas decimais. O método consiste em dividir o intervalo ao meio repetidamente e escolher o subintervalo onde a função muda de sinal.
Passo 7
Inicialmente, temos:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Segundo passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Terceiro passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Quarto passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Quinto passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 12
Sexto passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 13
Sétimo passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 14
Oitavo passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 15
Nono passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 16
Décimo passo:
Ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
, então a raiz está no intervalo
.
Resposta
A raiz da equação
no intervalo
é aproximadamente
.
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.
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e
.