Considere o problema de valor de contorno y'' - 2y' + 2y = 0, y(a) = c, y(b) = d.
(a) Se este problema tem uma solução única, como a e b estão relacionados?
(b) Se este problema não tem uma solução única, como a, b, c e d estão relacionados?
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como a, b, c e d estão relacionados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor de contorno para resolver. A equação diferencial é:
E as condições de contorno são e .
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente sobre soluções de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Além disso, vamos analisar condições para que o problema tenha solução única, nenhuma solução única ou infinitas soluções, dependendo dos valores de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 4

Vamos simplificar o sistema dividindo cada equação pelos respectivos e :
Agora, temos um sistema linear do tipo:
Onde:

Passo 5

Para resolver esse sistema, usamos o método de Cramer ou cálculo de determinantes. A chave para saber se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções está no determinante da matriz dos coeficientes:
Então, .

Passo 6

Agora, analisamos o determinante :
  • Se , ou seja, não é múltiplo de , então o determinante é diferente de zero, e o sistema tem uma solução única.
  • Se , ou seja, é múltiplo de , então o determinante é zero, e o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de e .

Resposta

(a) Se (ou seja, e não diferem por múltiplos de ), o determinante é diferente de zero, garantindo que o sistema tem uma solução única.
(b) Se (ou seja, é múltiplo de ) e as condições e satisfazem , então o sistema tem infinitas soluções.
© Se mas as condições e não satisfazem a relação , então o sistema não tem solução única, ou seja, não existem soluções que atendam às condições de contorno dadas.

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