Seja um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno , tem apenas a solução trivial para os casos .
(b) Para o caso , determine os valores de para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que analisar a equação diferencial de segunda ordem com as condições de contorno e . Vamos dividir a resolução em duas partes:
a) Mostrar que, quando ou , a única solução possível é a trivial .
b) Para , encontrar os valores de que permitem soluções não triviais e determinar essas soluções.
Para resolver isso, precisamos entender as soluções gerais de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e como as condições de contorno afetam essas soluções.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), onde ou .
Primeiro, consideramos o caso quando :
A equação diferencial se torna:
A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes de integração.
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
  2. implica => .
Portanto, a única solução é .
Agora, vamos para o caso quando . Vamos chamar , onde é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
  2. implica .
Como para e , a única solução possível é , o que implica .
Logo, novamente, a única solução é .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde .
Vamos chamar , onde é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
    Então, a solução simplifica para:
  2. implica:
    Para que tenha uma solução não trivial ( ), precisamos que:
    Isso ocorre quando:
    Desse modo:
    E, portanto:
As soluções correspondentes são:
onde é um número natural ( ).

Resposta

a) Para e , a única solução é a trivial .
b) Para , os valores de que permitem soluções não triviais são , onde é um número natural. As soluções correspondentes são .

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial.
Considere o problema de valor de contorno , .
(a) Se este problema tem uma solução única, como e estão relacionados?
(b) Se este problema não tem uma solução única, como estão relacionados?
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como , e estão relacionados?
Resolva a equação diferencial.
Resolva a equação diferencial.