Seja L um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno y'' + lambda y = 0, y(0) = 0, y(L) = 0 tem apenas a solução trivial y = 0 para os casos lambda = 0 e lambda < 0.
(b) Para o caso lambda > 0, determine os valores de lambda para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que analisar a equação diferencial de segunda ordem com as condições de contorno e . Vamos dividir a resolução em duas partes:
a) Mostrar que, quando ou , a única solução possível é a trivial .
b) Para , encontrar os valores de que permitem soluções não triviais e determinar essas soluções.
Para resolver isso, precisamos entender as soluções gerais de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e como as condições de contorno afetam essas soluções.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), onde ou .
Primeiro, consideramos o caso quando :
A equação diferencial se torna:
A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes de integração.
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
  2. implica => .
Portanto, a única solução é .
Agora, vamos para o caso quando . Vamos chamar , onde é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
  2. implica .
Como para e , a única solução possível é , o que implica .
Logo, novamente, a única solução é .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde .
Vamos chamar , onde é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
  1. implica => .
    Então, a solução simplifica para:
  2. implica:
    Para que tenha uma solução não trivial ( ), precisamos que:
    Isso ocorre quando:
    Desse modo:
    E, portanto:
As soluções correspondentes são:
onde é um número natural ( ).

Resposta

a) Para e , a única solução é a trivial .
b) Para , os valores de que permitem soluções não triviais são , onde é um número natural. As soluções correspondentes são .

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