Seja
um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno
,
tem apenas a solução trivial
para os casos
.
(b) Para o caso
, determine os valores de
para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
(a) Mostre que o problema de contorno
(b) Para o caso
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que analisar a equação diferencial de segunda ordem
com as condições de contorno
e
. Vamos dividir a resolução em duas partes:
a) Mostrar que, quando
ou
, a única solução possível é a trivial
.
b) Para
, encontrar os valores de
que permitem soluções não triviais e determinar essas soluções.
Para resolver isso, precisamos entender as soluções gerais de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e como as condições de contorno afetam essas soluções.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a), onde
ou
.
Primeiro, consideramos o caso quando
:
A equação diferencial se torna:
A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes de integração.
Aplicando as condições de contorno:
-
implica => . -
implica => .
Portanto, a única solução é
.
Agora, vamos para o caso quando
. Vamos chamar
, onde
é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
-
implica => . -
implica .
Como
para
e
, a única solução possível é
, o que implica
.
Logo, novamente, a única solução é
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde
.
Vamos chamar
, onde
é um número real positivo.
A equação diferencial fica:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
-
implica => . Então, a solução simplifica para: -
implica: Para que tenha uma solução não trivial (), precisamos que: Isso ocorre quando:Desse modo:E, portanto:
As soluções correspondentes são:
onde
é um número natural (
).
Resposta
a) Para
e
, a única solução é a trivial
.
b) Para
, os valores de
que permitem soluções não triviais são
, onde
é um número natural. As soluções correspondentes são
.
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,
.
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estão relacionados?
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estão relacionados?
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e
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(b) Se este problema não tem uma solução única, como
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como
Resolva a equação diferencial.
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