Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver: . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai supor que a solução tem uma forma exponencial, tipo , onde é uma constante que a gente precisa encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de supondo que :
  • A primeira derivada é .
  • A segunda derivada é .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original :

Passo 4

Como nunca é zero, podemos dividir os dois lados da equação por e simplificar:

Passo 5

Vamos resolver para :
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Simplificando:
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva a equação diferencial.
Calcule a derivada das seguintes funções .
Considere o problema de valor de contorno , .
(a) Se este problema tem uma solução única, como e estão relacionados?
(b) Se este problema não tem uma solução única, como estão relacionados?
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como , e estão relacionados?
Resolva o problema de valor inicial.