Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai supor que a solução tem uma forma exponencial, tipo
, onde
é uma constante que a gente precisa encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de
supondo que
:
- A primeira derivada é
. - A segunda derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original
:
Passo 4
Como
nunca é zero, podemos dividir os dois lados da equação por
e simplificar:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Simplificando:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial.
Calcule a derivada das seguintes funções
.
Considere o problema de valor de contorno
,
.
(a) Se este problema tem uma solução única, como e
estão relacionados?
(b) Se este problema não tem uma solução única, como
estão relacionados?
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como ,
e
estão relacionados?
(a) Se este problema tem uma solução única, como
(b) Se este problema não tem uma solução única, como
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como
Resolva o problema de valor inicial.