Resolva o problema de valor inicial. 2 y'' + 5 y' + 3 y = 0, y(0) = 3, y'(0) = -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é formada substituindo por , por e por 1. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais e distintas:
Então,

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, temos a equação:

Passo 6

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Então, temos a equação:

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2):
Multiplicando a segunda equação por :
Subtraindo a primeira equação dessa:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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