Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é formada substituindo por , por e por 1. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais e distintas:
Então,

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, temos a equação:

Passo 6

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Então, temos a equação:

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2):
Multiplicando a segunda equação por :
Subtraindo a primeira equação dessa:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Considere o problema de valor de contorno , .
(a) Se este problema tem uma solução única, como e estão relacionados?
(b) Se este problema não tem uma solução única, como estão relacionados?
© Se este problema tem uma infinidade de soluções, como , e estão relacionados?
Resolva a equação diferencial.
Seja um número real não nulo.
(a) Mostre que o problema de contorno , tem apenas a solução trivial para os casos .
(b) Para o caso , determine os valores de para os quais este problema tenha uma solução não trivial e dê a solução correspondente.
Resolva a equação diferencial.