Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é formada substituindo
por
,
por
e
por 1. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Então,
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então, temos a equação:
Passo 6
Agora, vamos derivar
para aplicar a segunda condição inicial
:
Aplicando
:
Então, temos a equação:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2):
Multiplicando a segunda equação por
:
Subtraindo a primeira equação dessa:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é: