Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
(a) Qual situação física representa o problema acima?
(b) Determine a solução do problema. Justifique.
(b) Determine a solução do problema. Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de um sistema que depende do tempo e da posição, com algumas condições iniciais e de fronteira. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de separação de variáveis e série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições de fronteira e iniciais dadas:
- Equação da onda:
para e . - Condições de fronteira:
e , ou seja, a solução é zero nas extremidades do intervalo para todo tempo . - Condições iniciais:
-
: a forma inicial da função. -
: a velocidade inicial.
-
Passo 3
Vamos resolver a equação da onda utilizando a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de funções de
e
:
.
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
-
Para
: Com as condições de fronteirae , as soluções não-triviais ocorrem quando , onde é um número inteiro positivo. -
Para
: As soluções são combinações de senos e cossenos:
Passo 4
A solução geral é a soma das soluções para todos os modos
:
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
.
-
Condição inicial para
: Isso implica que: -
Condição inicial para
: Portanto, somente o termo comcontribui, e temos: Para, .
Passo 5
Calculando
:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou utilizando tabelas de integrais. O resultado é:
Resposta
A solução do problema é dada por:
Onde
é o delta de Kronecker, que é 1 somente para
e 0 caso contrário.