Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
partialt^2 u & =64 partialx^2 u, 00 u(0, t) & =0, u(1, t)=0, t>0 u(x, 0) & =x(1-x), partialt u(x, 0)=sen(pi x), 0 <= x <= 1
(a) Qual situação física representa o problema acima?
(b) Determine a solução do problema. Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de um sistema que depende do tempo e da posição, com algumas condições iniciais e de fronteira. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de separação de variáveis e série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições de fronteira e iniciais dadas:
  • Equação da onda: partialt^2 u = 64 partialx^2 u para 0 < x < 1 e t > 0.
  • Condições de fronteira: u(0, t) = 0 e u(1, t) = 0, ou seja, a solução é zero nas extremidades do intervalo x in [0,1] para todo tempo t.
  • Condições iniciais:
    • u(x, 0) = x(1 - x): a forma inicial da função.
    • partialt u(x, 0) = sin(pi x): a velocidade inicial.

Passo 3

Vamos resolver a equação da onda utilizando a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de funções de x e t: u(x, t) = X(x)T(t).
Substituindo na equação da onda:
X(x) T''(t) = 64 X''(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T''(t)T(t) = 64 X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
  1. Para X(x):
    X''(x) + lambda64 X(x) = 0
    Com as condições de fronteira X(0) = 0 e X(1) = 0, as soluções não-triviais ocorrem quando lambda = 64 n^2 pi^2, onde n é um número inteiro positivo.
  2. Para T(t):
    T''(t) + 64 n^2 pi^2 T(t) = 0
    As soluções são combinações de senos e cossenos:
    Tn(t) = An cos(8 n pi t) + Bn sin(8 n pi t)

Passo 4

A solução geral é a soma das soluções para todos os modos n:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(8 n pi t) + Bn sin(8 n pi t) ] sin(n pi x)
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os coeficientes An e Bn.
  • Condição inicial para u(x, 0):
    u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(n pi x) = x(1 - x)
    Isso implica que:
    An = 2 integral0^1 x(1 - x) sin(n pi x) , dx
  • Condição inicial para partialt u(x, 0):
    partialt u(x, 0) = sumn=1^infty 8 n pi Bn sin(n pi x) = sin(pi x)
    Portanto, somente o termo com n=1 contribui, e temos:
    8 pi B1 = 1 implies B1 = 18 pi
    Para n >= 2, Bn = 0.

Passo 5

Calculando An:
An = 2 integral0^1 x(1 - x) sin(n pi x) , dx
Esse integral pode ser resolvido por partes ou utilizando tabelas de integrais. O resultado é:
An = 4n^3 pi^3 ( (-1)^n - 1 )

Resposta

A solução do problema é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 4n^3 pi^3 ( (-1)^n - 1 ) cos(8 n pi t) + 18 pi de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 somente para n=1 e 0 caso contrário.

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