Determine a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis
(a) Qual é o significado físico da função
neste problema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que significa a função
no contexto de um problema envolvendo equações diferenciais parciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de movimento e condições iniciais em problemas físicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
geralmente representa a posição ou deslocamento de um ponto
em um determinado tempo
. No contexto de, por exemplo, uma corda vibrante,
seria a posição vertical da corda no ponto
e no tempo
.
Passo 3
A função
representa a derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a velocidade com que a posição
está mudando no tempo naquele ponto
. É basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 4
Quando avaliamos essa derivada no tempo
, ou seja,
, estamos olhando para a velocidade inicial da corda em cada ponto
no instante inicial. Isso nos dá informações sobre como a corda está se movendo exatamente no começo do experimento ou situação considerada.
Passo 5
No problema apresentado, a expressão
nos diz que, inicialmente, cada ponto
da corda está se movendo com uma velocidade proporcional a
. Isso define como a corda começa a vibrar no instante inicial.
Resposta
A função
representa a velocidade inicial de cada ponto
da corda no instante
, ou seja, a taxa de variação da posição da corda em relação ao tempo no início do movimento.