Determine a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis
partialt^2 u & =49 partialx^2 u, 00 u(0, t) & =0, u(1, t)=0, t>0 ; u(x, 0) & =-sen(2 pi x)+5 sen(4 pi x), partialt u(x, 0)=3 sen(5 pi x), 0 <= x <= 1
(a) Qual é o significado físico da função partialt u(x, 0) neste problema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que significa a função no contexto de um problema envolvendo equações diferenciais parciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de movimento e condições iniciais em problemas físicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que geralmente representa a posição ou deslocamento de um ponto em um determinado tempo . No contexto de, por exemplo, uma corda vibrante, seria a posição vertical da corda no ponto e no tempo .

Passo 3

A função representa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, a velocidade com que a posição está mudando no tempo naquele ponto . É basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 4

Quando avaliamos essa derivada no tempo , ou seja, , estamos olhando para a velocidade inicial da corda em cada ponto no instante inicial. Isso nos dá informações sobre como a corda está se movendo exatamente no começo do experimento ou situação considerada.

Passo 5

No problema apresentado, a expressão nos diz que, inicialmente, cada ponto da corda está se movendo com uma velocidade proporcional a . Isso define como a corda começa a vibrar no instante inicial.

Resposta

A função representa a velocidade inicial de cada ponto da corda no instante , ou seja, a taxa de variação da posição da corda em relação ao tempo no início do movimento.

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