Use o método de separação de variáveis para obter uma expressão para a solução do problema
partialt^2 u & =9 partialx^2 u, 00 u(0, t) & =0, u(pi, t)=0, t>0
na forma de série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação de ondas usando o método de separação de variáveis. A gente tem a equação no intervalo e para todo . Além disso, as condições de contorno são e . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e utilizar séries infinitas para expressar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja, vamos assumir que . Isso é o que chamamos de separação de variáveis.

Passo 3

Agora, substituímos partialt^2 (X T) = 9 partialx^2 (X T) na equação original:
X(x) T''(t) = 9 X''(x) T(t)
Como T''(t)9 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda depende só de e depende só de , isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias (EDOs):
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + 9lambda T(t) = 0
  1. Para :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Com as condições de contorno e . As soluções não triviais existem apenas para valores específicos de , que vamos encontrar.

Passo 6

A equação Xn(x) = sin(n x) tem soluções harmônicas se , onde é um número inteiro positivo. Assim, as soluções são:
para .

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + 9n^2 T(t) = 0 :
Tn(t) = An cos(3n t) + Bn sin(3n t)
Essa é uma equação harmônica com solução geral:
onde e são constantes que determinam as amplitudes das funções cosseno e seno.

Passo 8

Então, a solução geral para cada modo un(x, t) = [An cos(3n t) + Bn sin(3n t)] sin(n x) é:

Passo 9

Como estamos lidando com um problema linear, a solução completa é a soma de todos os modos:
u(x, t) = sumn=1^infty [An cos(3n t) + Bn sin(3n t)] sin(n x)

Resposta

A solução do problema na forma de série infinita é
u(x, t) = sumn=1^infty [An cos(3n t) + Bn sin(3n t)] sin(n x)

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