Use o método de separação de variáveis para obter uma expressão para a solução do problema
na forma de série infinita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação de ondas usando o método de separação de variáveis. A gente tem a equação
no intervalo
e para todo
. Além disso, as condições de contorno são
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e utilizar séries infinitas para expressar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, vamos assumir que
. Isso é o que chamamos de separação de variáveis.
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original:
Como
depende só de
e
depende só de
, isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias (EDOs):
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a equação para
:
Com as condições de contorno
e
. As soluções não triviais existem apenas para valores específicos de
, que vamos encontrar.
Passo 6
A equação
tem soluções harmônicas se
, onde
é um número inteiro positivo. Assim, as soluções são:
para
.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é uma equação harmônica com solução geral:
onde
e
são constantes que determinam as amplitudes das funções cosseno e seno.
Passo 8
Então, a solução geral para cada modo
é:
Passo 9
Como estamos lidando com um problema linear, a solução completa é a soma de todos os modos:
Resposta
A solução do problema na forma de série infinita é