Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de:
y = x^2 + x, x = 1 e x = 2 em torno do eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando a curva , entre e , é girada em torno do eixo dos . Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, cada “fatinha” do sólido pode ser vista como um disco. A área desse disco é . Aqui, o raio é o valor de para cada .

Passo 3

Então, nossa função é . Essa será a nossa função que define o raio dos discos. Vamos precisar integrar essa função ao quadrado, multiplicada por , entre os limites de e .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, , e .

Passo 5

Vamos calcular :
Isso vai facilitar a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Vamos calcular nos limites:
Para :
Convertendo para o mesmo denominador:
Somando:
Para :
Convertendo para o mesmo denominador:
Somando:

Passo 8

Subtraindo os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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