Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de:
e
em torno do eixo dos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando a curva
, entre
e
, é girada em torno do eixo dos
. Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, cada “fatinha” do sólido pode ser vista como um disco. A área desse disco é
. Aqui, o raio é o valor de
para cada
.
Passo 3
Então, nossa função é
. Essa será a nossa função que define o raio dos discos. Vamos precisar integrar essa função ao quadrado, multiplicada por
, entre os limites de
e
.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Isso vai facilitar a integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Vamos calcular nos limites:
Para :
Para
Convertendo para o mesmo denominador:
Somando:
Para
:
Convertendo para o mesmo denominador:
Somando:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.