Considere o problema de valor inicial
y' = t * y * (4 - y) / (1 + t), y(0) = y0 > 0
© Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3.99 < y < 4.01 no instante t = 2 (use uma calculadora). Res: 3.6622 < y0 < 4.4042.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial do tipo equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Precisaremos usar métodos de solução de EDO e, possivelmente, aplicar técnicas numéricas ou uso de calculadora para encontrar o intervalo de valores iniciais que satisfazem a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar resolver a equação diferencial. A equação é:
Observamos que esta é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Para separar as variáveis, reescrevemos a equação da seguinte forma:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função racional em , que podemos decompor em frações parciais:
Portanto:

Passo 5

A integral do lado direito é:
Podemos simplificar isso fazendo a substituição , então . A integral se torna:

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar e resolver para , mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Simplificando:
Portanto, a constante é:

Passo 8

Substituímos na equação geral:
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar em termos de e , precisaríamos resolver a equação acima, o que pode ser complexo. Em vez disso, usaremos métodos numéricos ou uma calculadora para determinar o intervalo de que satisfaz .

Passo 10

Usando uma calculadora ou software de resolução de EDOs, determinamos que os valores iniciais que fazem com que esteja entre 3.99 e 4.01 são:

Resposta

O intervalo de valores iniciais é .

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