Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 km/h tem sua velocidade diminuida por um canal de água. Suponha que no processo de freagem a aceleração a é dada por a(v) = -mu v^2 onde v é a velocidade do foguete e mu é uma constante.
(b) Se é necessária uma distância de 2000 metros para o trenó atingir a velocidade de 15 km/h determine o valor de mu. Res: mu = ln(raiz(10)) km^(-1) ≈ 1.15 km^(-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Física sobre movimento e aceleração. A questão fala sobre um trenó foguete que está diminuindo a velocidade ao passar por um canal de água. A gente precisa encontrar o valor da constante mu que relaciona a aceleração do trenó com a velocidade dele. Para isso, vamos usar as equações de movimento com aceleração dependente da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da aceleração fornecida:
Aqui, é a aceleração, que depende da velocidade v, e mu é a constante que queremos encontrar. O sinal negativo indica que a aceleração está atuando para diminuir a velocidade do trenó.

Passo 3

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos escrever:
Agora, precisamos separar as variáveis para integrar:

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. A integração vai de até no lado esquerdo, e de t = 0 até o tempo final t no lado direito:
Resolvendo as integrais:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o tempo com a distância percorrida. Sabemos que a distância s é dada por:
Mas como a velocidade está variando, precisamos expressar v em função do tempo. Da equação $ \frac{dv}{dt} = -\mu v^2$, já integramos e encontramos uma relação entre e v. Contudo, para simplificar, podemos usar a relação de distância com velocidade média.
Como a aceleração é dependente da velocidade, a integração completa é um pouco mais complexa e envolve relacionar t, s, e v. Para isso, podemos usar a relação:
mu
Onde é a distância percorrida, s é a velocidade inicial, e é a velocidade final.

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Então, isolando mu:

Resposta

O valor da constante mu é:

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