Um trenó foguete com velocidade inicial de
tem sua velocidade diminuida por um canal de água. Suponha que no processo de freagem a aceleração
é dada por
onde
é a velocidade do foguete e
é uma constante.
(b) Se é necessária uma distância de 2000 metros para o trenó atingir a velocidade de
determine o valor de
. Res:
.
(b) Se é necessária uma distância de 2000 metros para o trenó atingir a velocidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Física sobre movimento e aceleração. A questão fala sobre um trenó foguete que está diminuindo a velocidade ao passar por um canal de água. A gente precisa encontrar o valor da constante
que relaciona a aceleração do trenó com a velocidade dele. Para isso, vamos usar as equações de movimento com aceleração dependente da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da aceleração fornecida:
Aqui,
é a aceleração, que depende da velocidade
, e
é a constante que queremos encontrar. O sinal negativo indica que a aceleração está atuando para diminuir a velocidade do trenó.
Passo 3
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos escrever:
Agora, precisamos separar as variáveis para integrar:
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. A integração vai de
até
no lado esquerdo, e de
até o tempo final
no lado direito:
Resolvendo as integrais:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o tempo com a distância percorrida. Sabemos que a distância
é dada por:
Mas como a velocidade está variando, precisamos expressar
em função do tempo. Da equação $ \frac{dv}{dt} = -\mu v^2$, já integramos e encontramos uma relação entre
e
. Contudo, para simplificar, podemos usar a relação de distância com velocidade média.
Como a aceleração é dependente da velocidade, a integração completa é um pouco mais complexa e envolve relacionar
,
, e
. Para isso, podemos usar a relação:
Onde
é a distância percorrida,
é a velocidade inicial, e
é a velocidade final.
Passo 6
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Então, isolando
:
Resposta
O valor da constante
é: