(a) 2 y' - 4 y = 0, com y(0) = 2. Res: y = 2 * e^(2 * t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados