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, com
. Res:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: