Considere o problema de valor inicial
a. Determine o comportamento da solução em função do valor inicial
quando
aumenta.
b. Suponha que
. Encontre o instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.
b. Suponha que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente equações de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a do exercício: determinar o comportamento da solução em função do valor inicial
quando
aumenta.
Temos a equação:
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos rearranjá-la para separar
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Primeiro, escrevemos
como
:
Agora, isolamos
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral da esquerda em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
Resolvendo, encontramos
e
. Assim:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos o lado direito:
Então, juntando os dois lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por 4 para simplificar:
Onde
.
Passo 7
Elevamos ambos os lados como potências de
:
Onde
é uma nova constante.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Quando
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 11
Agora, analisamos o comportamento de
conforme
aumenta, dependendo do valor inicial
:
- Se
: O termo cresce sem limites conforme aumenta, então tende a 4. - Se
: A solução é constante para todo . - Se
: O termo no denominador se torna negativo, mas como cresce, ainda tende a 4 à medida que aumenta.
Portanto, independentemente do valor inicial
diferente de 4, a solução tende a 4 conforme
aumenta.
Passo 12
Agora, vamos para a parte b do exercício: encontrar o instante
onde a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98, dado que
.
Primeiro, substituímos
na expressão de
:
Queremos encontrar
tal que
:
Passo 13
Vamos resolver a equação para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 14
Isolamos
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 15
Resolvemos para
:
Calculando
:
Então:
Passo 16
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
a. Para qualquer valor inicial
diferente de 4, a solução
tende a 4 conforme
aumenta. Se
, a solução permanece constante em 4 para todo
.
b. O instante
em que a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 é aproximadamente
.