Considere o problema de valor inicial
y' = t * y * (4 - y) / 3, y(0) = y0
a. Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.
b. Suponha que y0 = 0.5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente equações de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a do exercício: determinar o comportamento da solução em função do valor inicial quando aumenta.
Temos a equação:
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos rearranjá-la para separar e em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Primeiro, escrevemos como :
Agora, isolamos e :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral da esquerda em relação a :
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
Resolvendo, encontramos e . Assim:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos o lado direito:
Então, juntando os dois lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 4 para simplificar:
Onde .

Passo 7

Elevamos ambos os lados como potências de :
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Agora, resolvemos para :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Quando :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 11

Agora, analisamos o comportamento de conforme aumenta, dependendo do valor inicial :
  • Se : O termo cresce sem limites conforme aumenta, então tende a 4.
  • Se : A solução é constante para todo .
  • Se : O termo no denominador se torna negativo, mas como cresce, ainda tende a 4 à medida que aumenta.
Portanto, independentemente do valor inicial diferente de 4, a solução tende a 4 conforme aumenta.

Passo 12

Agora, vamos para a parte b do exercício: encontrar o instante onde a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98, dado que .
Primeiro, substituímos na expressão de :
Queremos encontrar tal que :

Passo 13

Vamos resolver a equação para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Distribuindo :
Subtraímos de ambos os lados:

Passo 14

Isolamos :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 15

Resolvemos para :
Calculando :
Então:

Passo 16

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

a. Para qualquer valor inicial diferente de 4, a solução tende a 4 conforme aumenta. Se , a solução permanece constante em 4 para todo .
b. O instante em que a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98 é aproximadamente .

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