Encontre o comprimento de arco definido por , de à .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimentos de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto .
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar. A fórmula para a magnitude é:
Podemos fatorar dentro da raiz para simplificar:
Passo 4
O comprimento do arco de a é dado pela integral da magnitude de :
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir: