Encontre o comprimento de arco definido por r(t) = (t^3, 2 t^2), de t = 0 à t = 1.
R: 61 / 27

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimentos de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar. A fórmula para a magnitude é:
Podemos fatorar dentro da raiz para simplificar:

Passo 4

O comprimento do arco de a é dado pela integral da magnitude de :

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O comprimento do arco é .

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