dQ/dt = r(a + bQ), Q(0) = Q0
em que a, b, r e Q0 são constantes. Determine o comportamento da solução quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Aqui, a, b, r e Q0 são constantes. Nosso objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando o tempo t tende para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e analisar o comportamento assintótico da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Ela é uma equação linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
Integrando, obtemos:
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para Q(t), multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Então,

Passo 7

Substituindo C de volta na expressão de Q(t):

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento de Q(t) quando t -> infinito. Observamos que o termo depende do sinal de :
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .
  • Se , então , ou seja, , constante.

Resposta

Quando t tende para o infinito, a solução Q(t) se comporta da seguinte forma:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então Q(t) permanece constante igual a Q0.

Exercícios relacionados