em que
e
são constantes. Determine o comportamento da solução quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Aqui,
,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando o tempo
tende para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e analisar o comportamento assintótico da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Ela é uma equação linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação à esquerda em uma derivada do produto:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então,
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
. Observamos que o termo
depende do sinal de
:
- Se
, então , então . - Se
, então , então . - Se
, então , ou seja, , constante.
Resposta
Quando
tende para o infinito, a solução
se comporta da seguinte forma:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então permanece constante igual a .