Considere o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = a ≥ 0
(a) Encontre a solução y(t) desse problema. 2 e^(-t) cos(raiz(5) t) + (a + 2) / (raiz(5) e^(-t) sen(raiz(5) t))
(b) Encontre a tal que y = 0 quando t = 1.
© Encontre o menor valor positivo de t, em função de a, pra o qual y = 0.
arctg(2 * raiz(5) / (2 + a)) / raiz(5)
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando a -> infinito t = pi / raiz(5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar de conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar soluções gerais, aplicar condições iniciais e resolver equações trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede para encontrar a solução do problema de valor inicial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral é:
onde e . Portanto:

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada :
Simplificando:
Agora, substituímos :

Passo 4

Com e , substituímos na solução geral:
Isso completa a parte (a).

Passo 5

Vamos para a parte (b): encontrar tal que .
Usamos a solução encontrada:
Como , podemos multiplicar ambos os lados por :
Resolvendo para :

Passo 6

Passando para a parte ©: encontrar o menor valor positivo de em função de para o qual .
Voltamos à solução:
Igualando a expressão dentro do parêntese a zero:
Dividindo ambos os lados por :
Então,
Como queremos o menor , usamos a tangente negativa:

Passo 7

Finalmente, a parte (d): determinar o limite da expressão encontrada no item © quando .
Analisamos a expressão:
Quando , . Sabemos que , mas precisamos considerar o comportamento assimptótico.
Entretanto, para valores grandes de , o termo dentro do arctangente tende a zero, então:
Mas observando que a solução para também se aproxima do primeiro ponto onde a função cruza o eixo, considerando grande, a solução tende a:

Resposta

A solução completa do problema é:
(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados