Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução
desse problema.
(b) Encontre
tal que
quando
.
© Encontre o menor valor positivo de
, em função de
, pra o qual
.
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
(b) Encontre
© Encontre o menor valor positivo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar de conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar soluções gerais, aplicar condições iniciais e resolver equações trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede para encontrar a solução
do problema de valor inicial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral é:
onde
e
. Portanto:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada
:
Simplificando:
Agora, substituímos
:
Passo 4
Com
e
, substituímos na solução geral:
Isso completa a parte (a).
Passo 5
Vamos para a parte (b): encontrar
tal que
.
Usamos a solução encontrada:
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Passando para a parte ©: encontrar o menor valor positivo de
em função de
para o qual
.
Voltamos à solução:
Igualando a expressão dentro do parêntese a zero:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
Como queremos o menor
, usamos a tangente negativa:
Passo 7
Finalmente, a parte (d): determinar o limite da expressão encontrada no item © quando
.
Analisamos a expressão:
Quando
,
. Sabemos que
, mas precisamos considerar o comportamento assimptótico.
Entretanto, para valores grandes de
, o termo dentro do arctangente tende a zero, então:
Mas observando que a solução para
também se aproxima do primeiro ponto onde a função cruza o eixo, considerando
grande, a solução tende a:
Resposta
A solução completa do problema é:
(a)
(b)
©
(d)
Exercícios relacionados
Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(e) ;
(e)
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©