Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar uma forma adequada para
usando o método dos coeficientes a determinar. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação diferencial não homogênea e queremos achar uma solução particular que se encaixe no lado direito da equação. Aqui, a equação é:
Vamos precisar identificar cada termo do lado direito e determinar uma forma para
que possa capturar todos esses termos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo
. Como é um polinômio de grau 4, a forma da solução particular para esse termo será um polinômio da mesma ordem. Então, para esse termo,
será algo como:
Aqui,
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos para o termo
. Esse é um polinômio multiplicado por uma função exponencial. A forma da solução particular para esse tipo de termo geralmente é:
Onde
são novos coeficientes a serem encontrados.
Passo 4
Por último, temos
. Para funções trigonométricas do tipo seno ou cosseno, a solução particular é uma combinação linear dessas funções:
Com
e
sendo coeficientes desconhecidos.
Passo 5
Agora, juntando tudo, a forma completa para
será a soma das soluções particulares de cada termo:
Essa é a forma adequada para
que vamos usar no método dos coeficientes a determinar.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é determinar uma forma adequada para
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos identificar os termos do lado direito e pensar em como montar nossa solução particular.
Passo 7
O lado direito da equação é
, que pode ser separado em dois termos:
e
. Vamos tratar cada um separadamente.
Primeiro, para o termo
, que é um polinômio de grau 1, a forma da solução particular será:
Aqui,
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 8
Agora, para o termo
, que é um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica, a forma da solução particular será:
Onde
e
são novos coeficientes desconhecidos.
Passo 9
Juntando as duas partes, a forma completa para
será:
Essa é a forma adequada para
na parte (b).
Passo 10
Vamos seguir para a parte © do exercício. A equação apresentada é:
Precisamos determinar uma forma adequada para
usando o método dos coeficientes a determinar, identificando cada termo do lado direito e criando uma solução particular para cada um.
Passo 11
Primeiro, observamos o termo
. Este é um termo exponencial simples, então a forma da solução particular será:
Onde
é um coeficiente a ser encontrado.
Passo 12
Em seguida, temos
. Este é um produto de exponencial e função trigonométrica, então a solução particular será:
Com
e
sendo novos coeficientes.
Passo 13
Por fim, temos
. Como é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma exponencial e seno, a forma da solução particular será:
Onde
são coeficientes a serem determinados.
Passo 14
Juntando todas as partes, a forma completa para
será:
Essa é a forma adequada para
na parte ©.
Passo 15
Finalmente, vamos para a parte (d) do exercício. A equação dada é:
Nosso objetivo é determinar uma forma adequada para
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos identificar cada termo do lado direito e construir a solução particular correspondente.
Passo 16
Primeiro, olhamos para
. Este é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma função trigonométrica, ent��o a forma da solução particular será:
Onde
são coeficientes a serem determinados.
Passo 17
Em seguida, temos
. Este é um polinômio de grau 1 multiplicado por uma função trigonométrica, então a solução particular será:
Com
sendo novos coeficientes.
Passo 18
Juntando as duas partes, a forma completa para
será:
Essa é a forma adequada para
na parte (d).
Resposta
A forma adequada para
é:
Exercícios relacionados
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(e) ;
(e)
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
© ;
©
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução
desse problema.
(b) Encontre tal que
quando
.
© Encontre o menor valor positivo de , em função de
, pra o qual
.
(b) Encontre
© Encontre o menor valor positivo de
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©