Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar uma forma adequada para usando o método dos coeficientes a determinar. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação diferencial não homogênea e queremos achar uma solução particular que se encaixe no lado direito da equação. Aqui, a equação é:
Vamos precisar identificar cada termo do lado direito e determinar uma forma para que possa capturar todos esses termos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo . Como é um polinômio de grau 4, a forma da solução particular para esse termo será um polinômio da mesma ordem. Então, para esse termo, será algo como:
Aqui, são coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos para o termo . Esse é um polinômio multiplicado por uma função exponencial. A forma da solução particular para esse tipo de termo geralmente é:
Onde são novos coeficientes a serem encontrados.

Passo 4

Por último, temos . Para funções trigonométricas do tipo seno ou cosseno, a solução particular é uma combinação linear dessas funções:
Com e sendo coeficientes desconhecidos.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a forma completa para será a soma das soluções particulares de cada termo:
Essa é a forma adequada para que vamos usar no método dos coeficientes a determinar.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é determinar uma forma adequada para usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos identificar os termos do lado direito e pensar em como montar nossa solução particular.

Passo 7

O lado direito da equação é , que pode ser separado em dois termos: e . Vamos tratar cada um separadamente.
Primeiro, para o termo , que é um polinômio de grau 1, a forma da solução particular será:
Aqui, e são coeficientes a serem determinados.

Passo 8

Agora, para o termo , que é um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica, a forma da solução particular será:
Onde e são novos coeficientes desconhecidos.

Passo 9

Juntando as duas partes, a forma completa para será:
Essa é a forma adequada para na parte (b).

Passo 10

Vamos seguir para a parte © do exercício. A equação apresentada é:
Precisamos determinar uma forma adequada para usando o método dos coeficientes a determinar, identificando cada termo do lado direito e criando uma solução particular para cada um.

Passo 11

Primeiro, observamos o termo . Este é um termo exponencial simples, então a forma da solução particular será:
Onde é um coeficiente a ser encontrado.

Passo 12

Em seguida, temos . Este é um produto de exponencial e função trigonométrica, então a solução particular será:
Com e sendo novos coeficientes.

Passo 13

Por fim, temos . Como é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma exponencial e seno, a forma da solução particular será:
Onde são coeficientes a serem determinados.

Passo 14

Juntando todas as partes, a forma completa para será:
Essa é a forma adequada para na parte ©.

Passo 15

Finalmente, vamos para a parte (d) do exercício. A equação dada é:
Nosso objetivo é determinar uma forma adequada para usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos identificar cada termo do lado direito e construir a solução particular correspondente.

Passo 16

Primeiro, olhamos para . Este é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma função trigonométrica, ent��o a forma da solução particular será:
Onde são coeficientes a serem determinados.

Passo 17

Em seguida, temos . Este é um polinômio de grau 1 multiplicado por uma função trigonométrica, então a solução particular será:
Com sendo novos coeficientes.

Passo 18

Juntando as duas partes, a forma completa para será:
Essa é a forma adequada para na parte (d).

Resposta

A forma adequada para é:

Exercícios relacionados

Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(e) ;
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
© ;
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução desse problema.
(b) Encontre tal que quando .
© Encontre o menor valor positivo de , em função de , pra o qual .
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©