Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde . A gente já sabe uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução, , usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como a redução de ordem funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial numa forma mais amigável. A equação dada é . Vamos dividir todos os termos por para deixar o coeficiente de igual a 1:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Como já temos uma solução conhecida, , vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução, . Esse método nos permite encontrar sabendo apenas uma solução .
A ideia é supor que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde é uma função que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , , e na equação diferencial original.

Passo 5

Substituindo na equação:
Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que , então e . Substituindo esses valores:

Passo 6

Fatorando :
Como , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Vamos expandir os termos:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a equação fica:

Passo 8

Podemos reescrever essa equação como:
Agora, vamos dividir todos os termos por para simplificar:

Passo 9

Vamos fazer uma substituição para simplificar essa equação. Seja , então . Substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 10

Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então:

Passo 11

Multiplicamos a equação diferencial de pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração.

Passo 12

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 13

Vamos calcular a integral:
Usando a técnica de integração por partes, onde:
  • Seja , então
  • Seja , então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Então:

Passo 14

Lembrando que e , temos:
Como já é uma solução, para evitar redundância, podemos considerar . Portanto:
Como é uma constante arbitrária, podemos renomear como . Assim, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução desse problema.
(b) Encontre tal que quando .
© Encontre o menor valor positivo de , em função de , pra o qual .
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
©