Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
, onde
. A gente já sabe uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução,
, usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como a redução de ordem funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial numa forma mais amigável. A equação dada é
. Vamos dividir todos os termos por
para deixar o coeficiente de
igual a 1:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Como já temos uma solução conhecida,
, vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução,
. Esse método nos permite encontrar
sabendo apenas uma solução
.
A ideia é supor que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde
é uma função que precisamos descobrir.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
, e
na equação diferencial original.
Passo 5
Substituindo na equação:
Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que
, então
e
. Substituindo esses valores:
Passo 6
Fatorando
:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a equação fica:
Passo 8
Podemos reescrever essa equação como:
Agora, vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 9
Vamos fazer uma substituição para simplificar essa equação. Seja
, então
. Substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 10
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então:
Passo 11
Multiplicamos a equação diferencial de
pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 12
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 13
Vamos calcular a integral:
Usando a técnica de integração por partes, onde:
- Seja
, então - Seja
, então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Então:
Passo 14
Lembrando que
e
, temos:
Como
já é uma solução, para evitar redundância, podemos considerar
. Portanto:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomear
como
. Assim, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução
desse problema.
(b) Encontre tal que
quando
.
© Encontre o menor valor positivo de , em função de
, pra o qual
.
(b) Encontre
© Encontre o menor valor positivo de
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
©
©