Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(a) t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 0, t > 0, y1(t) = t, y2(t) = t e^t
(b) x y'' - y' + 4 x^3 y = 0, x > 0, y1(t) = sen(x^2), y2(t) = cos(x^2)
© (x-1) y'' - x y' + y = 0, x > 0, y1(t) = e^x, y2(t) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde . A gente já sabe uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução, , usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como a redução de ordem funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial numa forma mais amigável. A equação dada é . Vamos dividir todos os termos por x - 1 para deixar o coeficiente de igual a 1:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Como já temos uma solução conhecida, , vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução, . Esse método nos permite encontrar sabendo apenas uma solução .
A ideia é supor que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde v(x) é uma função que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , , e na equação diferencial original.

Passo 5

Substituindo na equação:
Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que , então e . Substituindo esses valores:

Passo 6

Fatorando e^x:
Como , podemos dividir ambos os lados por e^x:

Passo 7

Vamos expandir os termos:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
  • Para v:
  • Para :
  • Para :
Então, a equação fica:

Passo 8

Podemos reescrever essa equação como:
Agora, vamos dividir todos os termos por para simplificar:

Passo 9

Vamos fazer uma substituição para simplificar essa equação. Seja , então . Substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u.

Passo 10

Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, mu(x), é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então:

Passo 11

Multiplicamos a equação diferencial de u pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde C é uma constante de integração.

Passo 12

Resolvendo para u:
Lembrando que , temos:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar v:
Onde D é outra constante de integração.

Passo 13

Vamos calcular a integral:
Usando a técnica de integração por partes, onde:
  • Seja , então
  • Seja , então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Então:

Passo 14

Lembrando que e , temos:
Como e^x já é uma solução, para evitar redundância, podemos considerar . Portanto:
Como C é uma constante arbitrária, podemos renomear como . Assim, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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