Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R
(d) f(x) = x^2 * e^(-x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a transformada de Fourier da função . A matéria aqui é Transformada de Fourier, que é uma ferramenta incrível para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Para resolver isso, a gente vai precisar saber a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades básicas, especialmente como lidar com funções gaussianas e polinomiais multiplicadas por essas gaussianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função em uma função que mostra como essa função é composta por diferentes frequências . A definição matemática da transformada de Fourier é:
No nosso caso, queremos aplicar essa definição à função .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier na nossa função:
Essa integral pode parecer complicada, mas a gente pode simplificar usando algumas propriedades da transformada de Fourier. Uma propriedade útil é que se a função é par (ou seja, ), a transformada de Fourier vai resultar em uma função real.
No nosso caso, é uma função par, então esperamos que seja real.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, combinamos os expoentes:
Agora, para resolver essa integral, podemos completar o quadrado no expoente. Vamos reescrever como:
Substituindo isso na integral:
Agora, fazemos uma mudança de variável , então e . Substituindo:
Expandindo o quadrado:
Então a integral fica:
Sabemos que:
  1. (porque a função é ímpar)
Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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