Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a transformada de Fourier da função
. A matéria aqui é Transformada de Fourier, que é uma ferramenta incrível para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Para resolver isso, a gente vai precisar saber a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades básicas, especialmente como lidar com funções gaussianas e polinomiais multiplicadas por essas gaussianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função
em uma função
que mostra como essa função é composta por diferentes frequências
. A definição matemática da transformada de Fourier é:
No nosso caso, queremos aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier na nossa função:
Essa integral pode parecer complicada, mas a gente pode simplificar usando algumas propriedades da transformada de Fourier. Uma propriedade útil é que se a função é par (ou seja,
), a transformada de Fourier vai resultar em uma função real.
No nosso caso,
é uma função par, então esperamos que
seja real.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, combinamos os expoentes:
Agora, para resolver essa integral, podemos completar o quadrado no expoente. Vamos reescrever
como:
Substituindo isso na integral:
Agora, fazemos uma mudança de variável
, então
e
. Substituindo:
Expandindo o quadrado:
Então a integral fica:
Sabemos que:
-
-
(porque a função é ímpar) -
Substituindo esses valores:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: