Considere o problema de valor inicial (a) Resolva esse PVI. 4y'' + 4y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos aqui é:
E temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas soluções gerais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 4:
Isso facilita um pouco para trabalharmos com os coeficientes.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a equação característica. Isso significa substituir por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Então, .

Passo 6

Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Então, .

Passo 8

Em seguida, calculamos a derivada de para usar a segunda condição inicial :
Derivando:
Avaliando em :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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