Considere o problema de valor inicial (a) Resolva esse PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos aqui é:
E temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e suas soluções gerais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 4:
Isso facilita um pouco para trabalharmos com os coeficientes.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a equação característica. Isso significa substituir
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Então,
.
Passo 6
Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Passo 8
Em seguida, calculamos a derivada de
para usar a segunda condição inicial
:
Derivando:
Avaliando em
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: