Resolva apenas um dos seguintes PVIs: (b) { x y' + y = 3 x^5, y(1) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial, que é basicamente uma equação diferencial com uma condição específica para encontrar a solução única. A equação que vamos resolver é:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais familiar. Queremos ter o isolado, então dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos que é uma equação linear da forma , onde e .

Passo 3

Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Note que isso já está na forma:
Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

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