Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta (d) y1(x) = e^(2x) e y2(x) = e^(-2x) formam um conjunto fundamental de soluçoes para a EDO y'' - 4y = 0 em I = R . Mais ainda, y1 e y2 são linearmente independentes em I = R .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente julgar se as funções e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial ordinária (EDO) no intervalo . Além disso, precisamos verificar se essas funções são linearmente independentes nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções de EDOs homogêneas e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a EDO para encontrar a solução geral. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver esse tipo de EDO é encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para é dada por:
Resolvendo para :
Então, as raízes são reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Observamos que as funções dadas no enunciado são e . Comparando com a solução geral, vemos que essas funções correspondem às soluções fundamentais da EDO.

Passo 6

Para confirmar que e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos verificar se elas são linearmente independentes no intervalo considerado .

Passo 7

Calculamos o Wronskiano das funções e :
[
W(y_{1}, y_{2}) =


= (e{2x})(-2e{-2x}) - (e{-2x})(2e{2x}) = -2 - 2 = -4
]
Como o Wronskiano para todo em , as funções são linearmente independentes.

Resposta

O item (d) é Verdadeiro (V). As funções e formam um conjunto fundamental de soluções para a EDO em e são linearmente independentes nesse intervalo.

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