Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta (d) e formam um conjunto fundamental de soluçoes para a EDO em . Mais ainda, e são linearmente independentes em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente julgar se as funções e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial ordinária (EDO) no intervalo . Além disso, precisamos verificar se essas funções são linearmente independentes nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções de EDOs homogêneas e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a EDO para encontrar a solução geral. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver esse tipo de EDO é encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para é dada por:
Resolvendo para :
Então, as raízes são reais e distintas: e .
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Observamos que as funções dadas no enunciado são e . Comparando com a solução geral, vemos que essas funções correspondem às soluções fundamentais da EDO.
Passo 6
Para confirmar que e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos verificar se elas são linearmente independentes no intervalo considerado .
Passo 7
Calculamos o Wronskiano das funções e :
[
W(y_{1}, y_{2}) =