Considere o problema de valor inicial
5 u'' + 2 u' + 7 u = 0, u(0) = 2, u'(0) = 1
Encontre a solução u(t) deste problema. Res: u = 2 * e^(-t / 5) * cos(raiz(34) * t / 5) + (7 / raiz(34)) * e^(-t / 5) * sen(raiz(34) * t / 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com coeficientes constantes:
com as condições iniciais e . A matéria que estamos usando aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5 para facilitar:
Isso deixa a equação na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Agora, a gente vai montar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar a solução da equação diferencial. Ela é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 6

Com o discriminante negativo, as raízes ficam na forma:
onde y = sen(x^2) e ( \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2} = \frac{\sqrt{136/25}}{2} = \frac{\sqrt{136}}{10} = \frac{\sqrt{34} \times 2}{10} = \frac{\sqrt{34}}{5}.
$$

Passo 7

Assim, as raízes são:
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :

Passo 9

Agora, vamos derivar para encontrar :
Usando a regra do produto:

Passo 10

Avaliaremos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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