Considere o problema de valor inicial
Encontre a solução
deste problema. Res:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com coeficientes constantes:
com as condições iniciais
e
. A matéria que estamos usando aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 5 para facilitar:
Isso deixa a equação na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Agora, a gente vai montar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar a solução da equação diferencial. Ela é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos calcular o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas conjugadas.
Passo 6
Com o discriminante negativo, as raízes ficam na forma:
onde
e ( \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2} = \frac{\sqrt{136/25}}{2} = \frac{\sqrt{136}}{10} = \frac{\sqrt{34} \times 2}{10} = \frac{\sqrt{34}}{5}.
$$
Passo 7
Assim, as raízes são:
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 9
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Passo 10
Avaliaremos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: