Resolva o problema de valor inicial dado.
(a) y'' + 4y = t^2 + 3e^t ; y(0) = 0, y'(0) = 2. Res: y = (7/10) sen(2 t) - (19/40) cos(2 t) + (1/4) t^2 - (1/8) + (3/5) e^t.
(b) y'' - 2y' + y = t e^t + 4 ; y(0) = 1, y'(0) = 1. Res: y = 4 t e^t - 3 e^t + (1/6) t^3 e^t + 4.
© y'' + 4y = 3 sen(2t) ; y(0) = 2, y'(0) = -1 Res: y = 2 cos(2 t) - 1/8 sin(2 t) - 3/4 t cos(2 t).
(d) y'' + 2y' + 5y = 4e^(-t) cos(2t) ; y(0) = 1, y'(0) = 0 Res: y = e^(-t) cos(2t) + 1/2 e^(-t) sin(2t) t e^(-t) sen(2 t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação que vamos trabalhar é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para encontrar a solução dessa equação. Precisaremos encontrar a solução geral que é a soma da solução geral da equação homogênea (chamada de solução complementar) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, as raízes são complexas: .

Passo 3

Com as raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é , que tem a mesma forma das soluções da equação homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por t para evitar a duplicidade.
Assim, vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Nota: Para simplificar, após calcular as derivadas completas, substituímos na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para A e B.

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação original, e igualando os coeficientes dos termos correspondentes, encontramos os valores de A e B:
Após os cálculos, obtemos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Agora, juntando a solução complementar e a solução particular, temos a solução geral da equação diferencial:

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usando y(0) = 1:
Portanto, .
Segundo, calculamos e aplicamos :
Após diferenciação e substituição, encontramos que .

Passo 9

Substituindo e na solução geral, temos:
Podemos simplificar mais:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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