Resolva o problema de valor inicial dado.
(a)
. Res:
.
(b)
. Res:
.
©
Res:
.
(d)
Res:
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação que vamos trabalhar é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para encontrar a solução dessa equação. Precisaremos encontrar a solução geral que é a soma da solução geral da equação homogênea (chamada de solução complementar) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, as raízes são complexas:
.
Passo 3
Com as raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é
, que tem a mesma forma das soluções da equação homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar a duplicidade.
Assim, vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Nota: Para simplificar, após calcular as derivadas completas, substituímos na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para
e
.
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação original, e igualando os coeficientes dos termos correspondentes, encontramos os valores de
e
:
Após os cálculos, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Agora, juntando a solução complementar e a solução particular, temos a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usando
:
Portanto,
.
Segundo, calculamos
e aplicamos
:
Após diferenciação e substituição, encontramos que
.
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Podemos simplificar mais:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: