Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Aqui, vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque, para cada termo da equação diferencial, substituímos por , por e por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla.

Passo 4

Com , temos uma única raiz real:
Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição :
Derivando usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Aplicando :
Então, temos:

Passo 8

Substituindo e na solução geral:

Passo 9

Agora, para encontrar o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que crescem em módulo mas com valores negativos, observamos o termo .
O valor crítico ocorre quando esse coeficiente é zero:

Resposta

A solução é:
E o valor crítico de é:

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial dado.
(a) . Res: .
(b) . Res: .
© Res: .
(d) Res: .
Considere o problema de valor inicial
Encontre a solução deste problema. Res: .
Se e são duas soluções da equação diferencial com e sendo contínuas em um intervalo aberto , mostre que o wronskiano é dado por
onde é uma constante determinada que depende e , mas não de . Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)