Considere o seguinte problema de valor inicial
y'' - y' + 0,25 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = b
Encontre a solução y(t) em função de b e depois determine o valor crítico de b que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res: y = 2 * e^(t / 2) + (b - 1) * t * e^(t / 2) ; b = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Aqui, vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque, para cada termo da equação diferencial, substituímos por , por r e y por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla.

Passo 4

Com , temos uma única raiz real:
Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos derivar y(t) para aplicar a segunda condição :
Derivando usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Aplicando :
Então, temos:

Passo 8

Substituindo e na solução geral:

Passo 9

Agora, para encontrar o valor crítico de b que separa as soluções que crescem positivamente das que crescem em módulo mas com valores negativos, observamos o termo .
O valor crítico ocorre quando esse coeficiente é zero:

Resposta

A solução é:
E o valor crítico de b é:

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