Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução
em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Aqui, vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque, para cada termo da equação diferencial, substituímos
por
,
por
e
por 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla.
Passo 4
Com
, temos uma única raiz real:
Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
para aplicar a segunda condição
:
Derivando usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Aplicando
:
Então, temos:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 9
Agora, para encontrar o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que crescem em módulo mas com valores negativos, observamos o termo
.
O valor crítico ocorre quando esse coeficiente é zero:
Resposta
A solução é:
E o valor crítico de
é: