Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5)
y'' + 5y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = beta
em que beta > 0.
a. Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais e , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as ra��zes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Substituindo :
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar em função de :

Passo 8

Substituindo na equação (2):
Simplificando:
Então,

Passo 9

Agora que encontramos , substituímos de volta na equação :

Passo 10

Finalmente, substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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