Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5)
em que
.
a. Resolva o problema de valor inicial.
a. Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais
e
, onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as ra��zes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar
em função de
:
Passo 8
Substituindo
na equação (2):
Simplificando:
Então,
Passo 9
Agora que encontramos
, substituímos de volta na equação
:
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
;
Uma partícula se desloca num campo de forças
. Calcule o trabalho entre os pontos
e
, em que
e
.
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de
nas CNTP, sabendo que nessa temperatura o
.