Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Isso significa isolar
na equação dada. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes
e
na forma padrão
. Aqui, temos:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Podemos simplificar a fração:
Agora, integramos termo a termo:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
No lado direito, vamos expandir e integrar:
Integrando termo a termo:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando a expressão:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Calculando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Valendo para o intervalo
.
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Uma partícula se desloca num campo de forças
. Calcule o trabalho entre os pontos
e
, em que
e
.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5)
em que
.
a. Resolva o problema de valor inicial.
a. Resolva o problema de valor inicial.
Escreva a velocidade da reação em função das derivadas das espécies envolvidas com relação ao tempo e a lei de velocidades.