Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
x(2+x) y' + 2(1+x) y = 1 + 3x^2, y(-1) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Isso significa isolar na equação dada. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes e na forma padrão . Aqui, temos:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Podemos simplificar a fração:
Agora, integramos termo a termo:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .
No lado direito, vamos expandir e integrar:
Integrando termo a termo:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Simplificando a expressão:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Calculando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Valendo para o intervalo .

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