Uma partícula se desloca num campo de forças f(x, y, z) = (-y, x, z). Calcule o trabalho entre os pontos alpha(a) e alpha(b), em que α(t) = (cos(t), sen(t), t), a = 0 e b = 2 * pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por uma força em um campo de forças dado por ao mover uma partícula ao longo de uma curva parametrizada por de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de campos de força ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão do vetor força ao longo da curva . Isso significa substituir as coordenadas de pelas funções de da parametrização.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da curva em relação a , que é o vetor velocidade .

Passo 4

O trabalho realizado pela força ao longo da curva é dado pela integral do produto escalar entre e de a .
Vamos calcular esse produto escalar:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral do trabalho:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da curva é .

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