Uma partícula se desloca num campo de forças
. Calcule o trabalho entre os pontos
e
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por uma força em um campo de forças dado por
ao mover uma partícula ao longo de uma curva parametrizada por de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de campos de força ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão do vetor força
ao longo da curva
. Isso significa substituir as coordenadas
de
pelas funções de
da parametrização.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da curva
em relação a
, que é o vetor velocidade
.
Passo 4
O trabalho
realizado pela força ao longo da curva é dado pela integral do produto escalar entre
e
de
a
.
Vamos calcular esse produto escalar:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral do trabalho:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo da curva é
.
Exercícios relacionados
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
;
(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substituição
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
;
Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5)
em que
.
a. Resolva o problema de valor inicial.
a. Resolva o problema de valor inicial.