Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre a função potencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para encontrar a função potencial . O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais exatas e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, integrar para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão de uma equação diferencial exata. A equação é:
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Vemos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 6

Para encontrar , começamos integrando em relação a :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Passo 8

Somando as integrações:
Aqui, é uma função de que surge da integração, pois a constante de integração pode depender de .

Passo 9

Agora, usamos a segunda condição para encontrar .
Calculamos :
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 10

Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 11

Substituindo na expressão de :
Como estamos procurando uma função potencial, podemos ignorar a constante .

Resposta

A função potencial é:

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