Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre a função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para encontrar a função potencial
. O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais exatas e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, integrar para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão de uma equação diferencial exata. A equação é:
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Vemos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 6
Para encontrar
, começamos integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Somando as integrações:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração, pois a constante de integração pode depender de
.
Passo 9
Agora, usamos a segunda condição
para encontrar
.
Calculamos
:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 10
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Como estamos procurando uma função potencial, podemos ignorar a constante
.
Resposta
A função potencial é:
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(a) O centro da hipérbole.
(a) O centro da hipérbole.
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