Determine um fator integrante para a EDO
y * cos(x) + (y + 2) * sen(x) * dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
Vamos usar o conteúdo de fatores integrantes para resolver essa equação. Precisamos encontrar um fator que, ao multiplicar a EDO, a torne exata, ou seja, mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a EDO não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Assumimos que o fator integrante mu(x) depende apenas de x. A fórmula para o fator integrante quando depende de x é:
Substituindo os valores que encontramos:
Perceba que ainda está na expressão, o que indica que a suposição de y depender apenas de mu pode não ser válida. Então, vamos tentar assumir que x depende de mu.

Passo 5

Assumindo que mu(y) depende apenas de y, usamos a fórmula:
Calculando:
Podemos simplificar ignorando o valor absoluto:

Resposta

O fator integrante para a EDO é:

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