Determine um fator integrante para a EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
Vamos usar o conteúdo de fatores integrantes para resolver essa equação. Precisamos encontrar um fator que, ao multiplicar a EDO, a torne exata, ou seja, mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a EDO não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Assumimos que o fator integrante depende apenas de . A fórmula para o fator integrante quando depende de é:
Substituindo os valores que encontramos:
Perceba que ainda está na expressão, o que indica que a suposição de depender apenas de pode não ser válida. Então, vamos tentar assumir que depende de .

Passo 5

Assumindo que depende apenas de , usamos a fórmula:
Calculando:
Podemos simplificar ignorando o valor absoluto:

Resposta

O fator integrante para a EDO é:

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Nos itens a seguir, encontre o valor de que satisfaz o teorema do Valor Médio para Integrais.
Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre a função potencial .
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.
Esboce as curvas de nivel das funções abaixo para 3 valores diferentes:
Dica letra d: utiliza os valores 0,1 e -1.